Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

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Enunciado

O nível sonoro num ponto P é 32   d B abaixo do nível sonoro num ponto a 2,8   m de uma fonte pontual. A distância da fonte ao ponto P é:

a) 76,1   m

b) 25   m

c) 5,0   m

d) Nenhuma das demais alternativas

e) 4,0   c m

Passo 1

Faala galera, tudo joia?

Olha, eu sei que esse enunciado pode parecer um pouco confuso a princípio hahaha mas vamos entender melhor:

Temos uma fonte F que está produzindo um som. Temos um ponto A que está a 2,8   m dessa fonte. E aí temos um ponto P .

No ponto P , o nível sonoro da fonte é 32   d B abaixo do que no ponto A .

Então queremos a distância da fonte F até o ponto P

Sabemos que o nível sonoro é dado por essa fórmula:

β = 10 . log ⁡ I I 0

Onde I é a intensidade do som e I 0 = 10 - 12

Vamos chamar o nível sonoro em A de β A e o nível sonoro em P de β P . Temos que

β P = β A - 32

Além disso, considerando as distâncias, também temos que

I = P o t 4 π r ²

Onde P o t é a potência da fonte e r é a distância até a fonte

Então vamos lá usar essas informações!

Passo 2

Temos

β P = β A - 32

10 . log ⁡ I P I 0 = 10 . log ⁡ I A I 0 - 32

Escrevendo 32 = log ⁡ 10 32 , temos

10 . log ⁡ I P I 0 = 10 . log ⁡ I A I 0 - log ⁡ 10 32

Por propriedade de logaritmo, temos que log ⁡ a b = b . log ⁡ a , então

log ⁡ I P I 0 10 = log ⁡ I A I 0 10 - log ⁡ 10 32

Colocando o expoente pra dentro da fração:

log ⁡ I P 10 I 0 10 = log ⁡ I A 10 I 0 10 - log ⁡ 10 32

Também sabemos que log ⁡ a - log ⁡ b = log ⁡ a b , então aplicando isso do lado direito:

log ⁡ I P 10 I 0 10 = log ⁡ I A 10 I 0 10 ∙ 10 32

Se os logaritmos são iguais, os logaritmandos são iguais. Ou seja:

I P 10 I 0 10 = I A 10 I 0 10 ∙ 10 32

I P 10 = I A 10 10 32

Show! Encontramos uma relação entre I P e I A

Passo 3

Sabemos que

I = P o t 4 π r ²

Então para o ponto A temos

I A = P o t 4 π ( r A ) ² = P o t 4 π ( 2,8 ) ² → P o t = 4 π 2,8 2 ∙ I A

E para o ponto P :

I P = P o t 4 π ( r P ) ² → P o t = 4 π r P 2 ∙ I P

Onde r P é quem queremos descobrir

Como a potência P o t da fonte é igual para os dois pontos (porque é a mesma fonte), podemos igualar:

4 π 2,8 2 ∙ I A = 4 π r P 2 ∙ I P

2,8 2 ∙ I A = r P 2 ∙ I P

Então:

I P = 2,8 2 ∙ I A ( r P ) ²

Passo 4

Lá no passo 2, encontramos

I P 10 = I A 10 10 32

E no passo 3, encontramos

I P = 2,8 2 ∙ I A ( r P ) ²

Então vamos substituir a segunda equação na primeira:

2,8 2 ∙ I A r P 2 10 = I A 10 10 32

2,8 2 0 ∙ I A 10 r P 2 0 = I A 10 10 32

Cortando o I A 10 dos dois lados, chegamos em uma expressão onde a única incógnita é o r p :

2,8 20 r P 20 = 1 10 32

r P 20 = 10 32 ∙ 2,8 20

r p 20 = 8,7 ∙ 10 40

r p ≅ 111,4   m

Boaaa, então o ponto P está a mais ou menos 111   m e t r o s da fonte

Como essa opção não está nas alternativas, a alternativa correta é a letra d beleza?

Resposta

d) Nenhuma das alternativas

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