Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

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Enunciado

Um microfone é colocado no meio da linha que une dois alto-falantes de 12   W que podem ser considerados fontes pontuais isotrópicas. Os dois alto-falantes estão separados de uma distância de 20   m e emitem uma onda sonora em fase numa frequência de 100   H z . Despreze as ondas sonoras refletidas na montagem. Dados: I o = 10 - 12   W   / m 2 . v s o m = 340 m / s .

  1. Calcule o nível sonoro em d B medido pelo microfone se apenas um alto-falante estiver ligado.
  2. Calcule a intensidade do som em W / m 2 se os dois alto-falantes estiverem ligados.
  3. Qual a menor distância que podemos mover o microfone ao longo da linha que une os alto-falantes de modo que a intensidade sonora detectada se torne mínima.

Passo 1

a):

Bom, pra gente calcular o nível sonoro de apenas um alto-falante, basta que a gente calcule a intensidade do som no ponto onde está o ouvinte, no caso, no meio da linha que liga os dois alto-falantes, e após isso calcule o nível sonoro em si.

Sendo a potência do Alto-falante: P 1 = 12 W , a intensidade do som na distância d = 10 é:

I = P 4 π r 2 = 12 4 π . 10 2 = 9,5 x 10 - 3 W / m 2

Logo, o nível sonoro será:

β = 10 log ⁡ I I 0 = 10 log ⁡ 9,5 x 10 - 3 10 - 12 = 10 l o g ⁡ ( 9,5 x 10 9 ) ≈ 99,8 d B

Passo 2

b):

Agora a situação é outra: Os dois alto-falantes estão ligados. Precisamos achar uma expressão que nos dê a intensidade da onda sonora resultante no meio da linha que liga os dois.

Como vamos fazer isso? Bom, vamos precisar lembrar de duas fórmulas:

I = 1 2 . ρ . v . ω 2 . A 2

A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s ⁡ ( ∅ 1 - ∅ 2 )

A segunda equação nos dá a amplitude resultante da combinação de duas ondas com fases ∅ 1 e ∅ 2 .

Vamos isolar A 2 e A na primeira expressão e substituir na segunda:

A 2 = 2 I ρ . v . ω 2   → A = √ 2 . I ρ . v . ω 2

Logo:

2 I ρ . v . ω 2 = 2 I 1 ρ . v . ω 2 + 2 I 2 ρ . v . ω 2 + 2 √ 2 I 1 ρ . v . ω 2 2 I 2 ρ . v . ω 2 c o s ⁡ ( ∅ 1 - ∅ 2 )

Eita! Vamos arrumar isso ai:

2 I ρ . v . ω 2 = 2 I 1 ρ . v . ω 2 + 2 I 2 ρ . v . ω 2 + 2.2 I 1 I 2 ρ . v . ω 2 c o s ⁡ ( ∅ 1 - ∅ 2 )

Simplificando:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 c o s ⁡ ( ∅ 1 - ∅ 2 )

Show!

Como as ondas estão em fase: ∅ 1 - ∅ 2 = 0 .Além disso:

I 1 = I 2 = 12 4 π 10 2 = 9,5 x 10 - 3 W / m 2

Logo:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ⁡ ∅ 1 - ∅ 2

I = 9,5 x 10 - 3 + 9,5 x 10 - 3 + 2 9,5 x 10 - 3 2 c o s 0

I = 4 x 9,5 x 10 - 3 = 38 x 10 - 3 W / m 2

Ótimo! Agora basta a gente calcular o nível sonoro dessa intensidade:

β = 10 log ⁡ I I 0 = 10 log ⁡ 38 x 10 - 3 10 - 12 = 10 log ⁡ 38 x 10 9 = 105.8 d B

Passo 3

c):

Vamos dar uma olhada na linda figura que exemplifica a situação desse item:

Nós queremos descobrir a menor distância d tal que o observador que estava em no meio da linha que liga os dois alto-falantes pode se deslocar de forma que a intensidade do som percebida por ele seja mínima.

Isso quer dizer, como podemos ver na figura, que as distâncias dele até os alto-falantes vão ficar alteradas e passarão a ser:

L 2 = 10 + d

L 1 = 10 - d

Ótimo! Agora queremos descobrir quem é esse d . Para isso vamos usar a fórmula da interferência para o caso destrutivo:

2 m + 1 π = 2 π λ ( ∆ L )

Bom, ∆ L pode ser calculado por:

∆ L = L 2 - L 1 = 10 + d - 10 - d = 2 d

Além disso, como queremos a menor distância, vamos pegar a menor diferença de fase: Quando m = 0 :

2 m + 1 π = 2.0 + 1 π = π

Obs: Isso sempre acontece! Quando queremos a menor distância, ou o menor ∆ L , usamos a menor diferença de fase!

Substituindo esses valores na primeira equação:

π = 2 π 2 d λ → d = λ 4

Mas quem é λ ?

Vamos achar usando aquela fórmula clássica:

v = λ f → λ = 340 100 = 3,4 m

Substituindo na equação de d :

d = λ 4 = 3,4 4 = 0,85 = 85 c m

Resposta

a):

99,8 d B

b):

105.8 d B

c):

85 c m

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