Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

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Enunciado

Seja uma onda sonora harmônica, com frequência igual a 200   H z e intensidade I = 1,00 × 10 - 5   W / m 2 . A velocidade do som no ar é v s o m = 344   m / s e a densidade do ar é ρ = 1,23   k g / m 3 .Dado: I 0 = 10 - 12 W / m 2 .

  1. Calcule o nível sonoro, a amplitude do deslocamento e o valor máximo da variação de pressão.
  2. Para essa onda se propagando na direção horizontal, no sentido negativo do eixo x, escreva a função que descreve a onda de deslocamento s ( x , t ) , especificando todos os valores numéricos, dado que em t = 0 a camada de ar em x = 0 está deslocada por s x = 0 ,   t = 0 = 0 , e se movimentando com a velocidade positiva.

Passo 1

a):

O nível sono é dado por:

β = 10 log ⁡ I I 0

Vamos então aplicar os valores:

β = 10 log ⁡ 10 - 5 10 - 12 = 70 d B

Nós queremos também a amplitude de deslocamento. Pra isso, podemos usar a fórmula da intensidade sonora que é dada por:

I = 1 2 . ρ . v . ω 2 . A 2

Logo:

I = 1 2 . ρ . v . ω 2 . A 2

A = 2 I ρ . v . ω 2

Calculando ω = 2 π f = 400 π , e usando os demais valores do enunciado, achamos:

A ≅ 1,73 x 10 - 7 m

Beleza, só falta a variação m´´máxima de pressão. Essa é dada, conforme nossa teoria, por:

∆ P m á x = ρ v 2 k A

Só que como:

k = 2 π λ

v = λ T

ω = 2 π T

Então:

2 π λ . λ T = 2 π T = ω = k v   → k v = ω

Então, usando k v = ω , podemos reescrever a equação como:

∆ P m á x = ρ v 2 k A

∆ P m á x = ρ v 2 k A = ρ v . v k A = ρ v ω A ≅ 9 x 10 - 2 P a

Passo 2

b):

Bom, a onda de deslocamento segue o modelo tradicional das ondas:

u x , t = A c o s ( k x + ω t + ∅ )

Onde A é a amplitude e que foi calculada no item anterior.

Nós já temos quase todas as informações ou podemos calculá-las facilmente como ω ou k ). Só que a gente não sabe o valor de ∅ .

Vamos usar as informações que nos deram. Em t = o e x = 0 , u x , t = 0 . Logo:

u 0,0 = A c o s 0 + ∅ = A c o s ∅ = 0

cos ⁡ ∅ = 0 → ∅ = 2 n + 1 π 2

A segunda informação diz respeito à velocidade. Ela diz que a velocidade em t = 0 , x = 0 é positiva. Então: v x , t = ∂ u x , t ∂ t = - ω A s e n ( k x + ω t + ∅ )

v 0,0 = - ω A s e n ∅ > 0 → s e n ∅ < 0

OU seja, por tudo que fizemos, o ângulo tem que ser um múltiplo ímpar de π 2 e deve gerar um seno negativo. Então: ∅ = - π 2 .

Como k = ω v ≅ 1,26 x 10 3 344 ≅ 3,66 r a d / m ω = 2 π f = 400 π ≅ 1,26 x 10 3 r a d / s , escrevemos:

u x , t = A c o s 3,66 x + 1,26 x 10 3 t - π 2

Resposta

a):

70 d B

A ≅ 1,73 x 10 - 7 m

∆ P m á x = ρ v ω A ≅ 9 x 10 - 2 P a

b):

u x , t = A c o s 3,66 x + 1,26 x 10 3 t - π 2

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