Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma amostra de 100 eleitores escolhidos aleatoriamente por todos os eleitores de um determinado distrito indicou que 55 % deles eram a favor de um determinado candidato. Encontre para o nível de confiança de 99,66 % , o intervalo de confiança para a proporção de todos os eleitores a favor deste candidato.

Através do teorema do limite central, detalhe todos os passos para a construção do IC.

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

Passo 1

Esse é um exercício bem interessante em que vamos usar o teorema do limite central para achar o intervalo de confiança (IC) de uma distribuição.

Bom, na amostra de 100 eleitores, cada eleitor pode ser a favor de um candidato ou não ser a favor dele. Se p for a probabilidade de cada eleitor ser a favor, e 1 - p for a probabilidade de cada eleitor não ser a favor, temos uma distribuição binomial com n = 100 . Sabemos que a distribuição de probabilidade é dada por

f x = x ! n ! n - x ! p x 1 - p n - x

Isso não vai ser muito importante nesse problema, quis mencionar apenas para você recordar um pouco. O que vai ser importante é saber a média e a variância dessa distribuição:

μ = n p

σ 2 = n p 1 - p

Na verdade, vamos usar a distribuição de Bernoulli para resolver o problema, mas sabemos que a binomial está intimamente relacionada a ela.

Vamos considerar que uma boa estimativa para p seja a frequência de pessoas que são a favor do candidato:

p ^ = 55 100 = 0,55

Estou colocando o chapeuzinho em cima de p para indicar que se trata de um estimador. O exercício quer saber o intervalo de confiança para essa proporção, isto é, entre quais valores essa proporção deve estar.

Passo 2

Para isso, consideramos uma amostra com 100 variáveis aleatórias X 1 , X 2 , ..., X n , com n = 100 . Cada uma dessas variáveis obedece a uma distribuição de Bernoulli: se a pessoa for a favor do candidato, a variável vale 1 ; se ela não for, vale 0 . Assim, definimos

Y = X 1 + X 2 + … + X n n

A soma X 1 + … + X n vai representar o número de pessoas que é a favor do candidato nessa amostra, de modo que Y será a proporção de pessoas que apoiam o candidato nessa amostra. Note que Y faz o papel de p ^ . Para valores grandes de n , a variável Y deve seguir uma distribuição aproximadamente normal (aqui estamos usando o teorema central do limite).

A ideia básica é que a soma de um número muito grande de variáveis aleatórias deve ter uma distribuição aproximadamente normal. Além disso,

E Y = 1 n E X 1 + 1 n E X 2 + … 1 n E X n

Mas como cada variável X i segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p , temos que

E X 1 = E X 2 = … = E X n = p

Você deve lembrar que a média de uma distribuição de Bernoulli é μ = p , foi isso que eu usei na linha acima. Portanto,

E Y = 1 n E X 1 + … + E X n = 1 n ⋅ n p = p

Já para a variância, usamos que

V a r Y = 1 n 2 V a r X 1 + 1 n 2 V a r X 2 + … + 1 n 2 V a r X n

Mas como V a r X 1 = … V a r X n = p ( 1 - p ) , temos que

V a r Y = 1 n 2 V a r X 1 + … + V a r X n = 1 n 2 ⋅ n p 1 - p = p ( 1 - p ) n

Uma outra forma de se deduzir isso é pensar que X 1 + … + X n deve seguir uma binomial, de modo que

E Y = E X 1 + … + X n n = n p n = p

V a r Y = V a r X 1 + … + X n n 2 = n p 1 - p n 2 = p 1 - p n

As duas formas de pensar estão corretas e são análogas!

Passo 3

Mas por que eu fiz tudo isso? Aqui vem o pulo do gato, presta bastante atenção...

Pelo teorema central do limite, a variável Y (que representa a proporção de eleitores a favor de um candidato) deve seguir uma distribuição normal e, no passo anterior, achamos sua média e sua variância:

E Y = p               e             V a r Y = p 1 - p n

Para uma distribuição normal, tudo que precisamos é sua média e sua variância: problema praticamente resolvido! Sabemos que n = 100 e vamos usar o estimador de p = 0,55 . Assim,

E Y = 0,55

V a r Y = 0,55 ⋅ 0,45 100 = 0,0002475

A partir daqui vou chamar μ = 0,55 e σ 2 = 0,0002475 . O problema quer saber, com confiança de 99,66 % , qual o intervalo de valores de Y em torno da média que correspondem a essa probabilidade. Se ficou confuso eu vou desenhar para simplificar:

A linha verde representa a média μ . Queremos saber o intervalo que delimita a região pintada (entre Y m i n e Y m a x ) de modo que ela represente 99,66 % da probabilidade total. Para isso, nós normalizamos a distribuição para que ela tenha média 0 e desvio padrão 1 , através da mudança de variável:

Z = Y - μ σ

Com essa mudança de variável, a figura da distribuição passa a ser:

Como agora a distribuição é simétrica, é fácil ver que Z m i n = - Z m a x . Queremos que

P Z m i n < Z < Z m a x = 0,9966

P - Z m a x < Z < Z m a x = 0,9966

P 0 < Z < Z m a x = 0,9966 2 = 0,4983

Passo 4

Para determinar o valor de Z m a x , temos que olhar para a tabela da distribuição normal padrão acumulada. Vou usar a versão que foi dada na própria prova:

Essa tabela pode ser fornecida de várias formas, por isso é bem importante saber qual a convenção que está sendo utilizada. Na tabela fornecida na prova, a distribuição acumulada representa a probabilidade de Z < Z p . Vamos adaptar nosso problema a essa situação:

P 0 < Z < Z m a x = P - ∞ < Z < Z m a x - P - ∞ < Z < 0 = 0,4983

Mas note que P - ∞ < Z < 0 = 0,5 , pois representa metade da distribuição (que é simétrica). Assim,

P - ∞ < Z < Z m a x - 0,5 = 0,4983

P - ∞ < Z < Z m a x = 0,9983

Olhando na tabela:

Portanto,

Z m a x = 2,93               Z m i n = - 2,93

Daí, basta isolar Y como função de Z :

Z = Y - μ σ ⇒ Y = μ + Z σ

Portanto,

Y m i n = μ + Z m i n σ = 0,55 - 2,93 ⋅ 0,0002475 = 0,5493

Y m a x = μ + Z m a x σ = 0,55 + 2,93 ⋅ 0,0002475 = 0,5507

Portanto, o intervalo de confiança é

I C = 54,93 % ,   55,07 %

Resposta

I C = 54,93 % ,   55,07 %

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