Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma organização universitária deseja estimar a porcentagem de estudantes que são favoráveis a criação de um novo estatuto. Ela seleciona uma amostra de 200 estudantes, aleatoriamente, e constata que 120 são favoráveis a este novo estatuto.

(a) Construir um intervalo de confiança para p, a verdadeira porcentagem de estudantes favoráveis na população, com nível de confiança de 98%.

Passo 1

Letra a)

Intervalo de confiança para proporção! Mas é conservativo ou não-conservativo? Como nada foi especificado, vamos calcular os dois.

Começando pelo conservativo, como vimos lá na teoria, a fórmula do nosso IC é:

I C =   p ^ - z 1 - α 2 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 1 4 n

Passo 2

É pedido um nível de confiança de 98%. Então podemos afirmar que:

1 - α = 0,98

α = 0,02

E então nosso z 1 - α 2 :

z 1 - α 2 = z 0,99 = 2,33

Não tem a probabilidade 0,99 exata na nossa tabela da Normal, então usamos o z correspondente a probabilidade mais próxima disso, que é 0,9901!

Passo 3

Agora vamos calcular nossa proporção amostral   p ^ . O enunciado fala que 120 estudantes entre 200 totais não foram favoráveis, então:

p ^ = 120 200 = 0,6

Show! Só nos resta juntar todos os valores conhecidos na fórmula do IC, lembrando que n = 200 :

I C =   p ^ - z 1 - α 2 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 1 4 n = 0,6 - 2,33 1 4 × 200   ; 0,6 + 2,33 1 4 × 200

I C = ( 0,5176   ; 0,6824 )

Passo 4

Agora o não-conservativo, nossa fórmula é:

I C =   p ^ - z 1 - α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n   ;   p ^ + z 1 - α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n

Substituindo o valores que já calculamos para o caso conservativo:

I C = 0,6 - 2,33 0,6 × 0,4 200   ; 0,6 + 2,33 0,6 × 0,4 200

I C = ( 0,5193 ; 0,6807 )

Reparou como os intervalos foram parecidos? Isso aconteceu porque nossa proporção amostral é bem próxima de 50%, então os resultados das expressões acabaram sendo bem próximos!

Resposta

Letra a)

I C = ( 0,5176   ; 0,6824 )

ou

I C = ( 0,5193 ; 0,6807 )

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