Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, seleciona aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais 120 são favoráveis à proposta da reitoria.

  1. Construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 2 % .
  2. Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo 5 % , i.e. o comprimento do intervalo em cada lado do estimador da proporção ser inferior a 5 % , ao mesmo nível de significância do item (a)?

Passo 1

(a)

Os dados da amostra dos estudantes são:

n = 200   e s t u d a n t e s

Desses 200 estudantes, 120 são favoráveis, então a proporção amostral de estudantes favoráveis é de:

p ^ = 120 200 = 0,6

Passo 2

O intervalo de confiança pra proporção verdadeira de alunos favoráveis, p , tem o esse formato aqui:

I C = p ^ - d   ; p ^ + d

Com:

d = z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

p ^ e n a gente já conhece, falta o z 1 - α 2 , vamos lá.

Passo 3

O nível de significância é de 2 % ...

α = 0,02

z 1 - α 2 = z 0,99 ≅ 2,33

Passo 4

Agora sim, temos tudo:

d = z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

d = 2,33 × 0,6 × 0,4 200

d ≅ 0,08

Aí fica:

I C = 0,6 - 0,08   ; 0,6 + 0,08

I C = 0,52   ; 0,68

Passo 5

(b)

Esse erro aí que o exercício tá falando é exatamente o nosso d , concorda? É o que a gente soma e subtrai em cada lado do intervalo. Então é só fazer d ≤ 0,05 , e descobrimos o n .

d ≤ 0,05

z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n ≤ 0,05

2,33 × 0,6 × 0,4 n ≤ 0,05

n ≥ 2,33 0,24 0,05

n ≥ 2,33 0,24 0,05 2

n ≥ 521,17

Como n   não pode ser quebrado né, já que é o número de estudantes...

n = 522

Resposta

a   I C = 0,52   ; 0,68

b   n = 522   e s t u d a n t e s

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