Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma determinada empresa de telefonia pretende estimar a proporção p de clientes satisfeitos com o plano básico de telefonia móvel oferecido. Responda às seguintes questões.

(a) Suponha que a empresa tenha realizado uma pesquisa de satisfação com 2000 clientes, dos quais 800 afirmam estar satisfeitos com o plano básico de telefonia. Obtenha um intervalo de confiança não conservativo com coeficiente de confiança de 96% para a proporção p .

(b) Apenas para raciocinar, admita que a empresa tenha realizado 80 pesquisas de satisfação sobre este mesmo assunto. Se para cada pesquisa um intervalo de confiança de 95% para a proporção p for construído, quantos desses intervalos se espera que não contenham a proporção p ?

(c) Encontre o menor número de clientes que devem compor uma pesquisa de satisfação de modo que a proporção estimada p ^ difira de p em menos de 2% com probabilidade de 95%?

Passo 1

a)

Primeiro calculamos a proporção amostral:

  p ^ = 800 2000 = 0,4

O nível de confiança pedido é 96%, então:

α = 1 - 0,96 = 0,04

Podemos construir o IC não conservativo para proporção seguindo a fórmula:

I C =   p ^ - z 1 - α 2 p ^ 1 -   p ^ n ;   p ^ + z 1 - α 2 p ^ 1 -   p ^ n

Calculando o termo z separadamente, queremos z 1 - 0,04 2 = z 0,98 . Procurando esse cara na tabela vemos que z 0 , 9 8 = 2,05 . Então o intervalo fica:

I C = 0,4 - 2,05 0,4 0,6 2000 ; 0,4 + 2,05 0,4 0,6 2000

I C = [ 0,3775 ; 0,4224 ]

Passo 2

b)

Aqui a questão só quer ter certeza que a gente entendeu o significado do intervalo de confiança!

Um intervalo de 95 % significa que temos 95 % de certeza de que o valor da proporção desconhecida p está contido nele.

Se 80 pesquisas foram feitas com um intervalo de 95 % , nós esperamos que 5 % dessas 80 não contenham o p . Então:

0,05 × 80 = 4

Esperamos que 4 pesquisas não contenham a proporção p .

Passo 3

c)

Esse item aí usou vários vocabulários diferentes pra pedir o de sempre... dimensionamento da amostra! Nós sabemos que pra proporção ele é dado por:

n = z 1 - α 2 d 2 p 1 - p

Ele fala que quer que p ^ difira em no máximo 2% de p , então esse é o nosso erro amostral:

d = 0,02

O nível de confiança é 95%, então α = 0,05 .

Nada é informado sobre a proporção populacional p , então vamos considerar p = 0,5 . Substituindo tudo isso na fórmula:

n = z 1 - 0,05 2 0,02 2 0,5 1 - 0,5 = 1,96 0,02 2 0,25 → n = 2401

Resposta

a)

I C = [ 0,3775 ; 0,4224 ]

b)

4

c)

n = 2401

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