Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais se verificou que 140 estudantes são favoráveis à proposta da reitoria.

a) Determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 2%.

b) Qual deverá ser o tamanho da amostra para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria com um erro máximo de 3%, i.e. para que o raio do intervalo de confiança seja inferior a 3%, ao mesmo nível de significância do item (a).

Passo 1

O grande segredo para resolver esse problema é saber que a proporção segue uma distribuição aproximadamente normal se a amostra for suficientemente grande. Isso é garantido pelo teorema central do limite!

Sendo rigoroso, a proporção deve seguir uma distribuição binomial, mas podemos aproximá-la por uma normal com média

μ = p

e variância

σ 2 = n p 1 - p n = p 1 - p n

Nessa última expressão, note que dividi a variância da distribuição binomial por n , já que estamos interessados na proporção.

Passo 2

Como estimador para p , vamos usar

p = 140 200 = 0,7

Logo,

σ 2 = 0,7 ⋅ 0,3 200 = 0,00105 → σ = 0,0324

Queremos achar um intervalo em torno da média que corresponde a uma probabilidade de 100 - 2 = 98 % pois o nível de significância é de 2 % . Para achar esse intervalo em torno da média, fazemos a tradicional mudança de variável:

Z = x - μ σ → x = μ + Z σ

Queremos que

P - Z C < Z < Z C = 0,98

Como Z tem média 0 , podemos escrever

P 0 < Z < Z C = 0,98 2 = 0,49

Logo,

P - ∞ < Z < Z C = 0,5 + P 0 < Z < Z C = 0,5 + 0,49 = 0,99

Agora que achamos a probabilidade de Z ser menor que Z C , podemos ir para a tabela:

Tiramos que

Z C = 2,33

Passo 3

Os valores de x que corresponde aos valores limites de Z são:

x m i n = μ - Z C σ

x m a x = μ + Z C σ

Substituindo os números:

x m i n = 0,7 - 2,33 ⋅ 0,0324 = 0,6245

x m a x = 0,7 + 2,33 ⋅ 0,0324 = 0,7755

Portanto, o intervalo de confiança para a proporção é

I C = 62,45 % ;     77,55 %

Passo 4

No item (b) queremos saber qual deve ser o tamanho da amostra para que o tamanho do intervalo de confiança seja 3 % , isso significa que

x m a x - x m i n = 0,03 → 2 Z C σ = 0,03

Logo,

Z C σ = 0,03 2 = 0,015

Como o nível de significância é o mesmo, o valor de Z C é o mesmo do item (a):

Z C = 2,33

Logo,

σ = 0,015 Z C = 0,015 2,33 = 0,006438

Usando a fórmula de σ :

σ = p ( 1 - p ) n = 0,7 ⋅ 0,3 n = 0,006438

Elevando ao quadrado os dois lados da equação:

0,21 n = 0,006438 2 → n = 5066,6

Portanto, precisaríamos de um pouco mais de 5 mil pessoas. Para termos intervalos de confiança mais estreitos, precisamos de amostras bem maiores!

Resposta

a) I C = 62,45 % ;     77,55 % .

b) 5067 pessoas.

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