Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

3. Em uma eleição de 2º turno um instituto de opinião pretende estimar, numa pesquisa de boca de urna, a proporção p de eleitores que votaram no candidato do partido liberal. Responda às seguintes questões.

(a) Determine o número de eleitores que devem ser consultados de modo que a proporção p possa ser estimada com margem de erro de 0,01 e coeficiente de confiança de 95%?

(b) Se as pesquisas de opinião do dia anterior indicam claramente que o candidato deverá ter entre 25% e 40% dos votos, você conseguiria reduzir o tamanho amostral calculado em (a) com essa informação? Justifique.

(c) Suponha que o instituto tenha consultado 1200 eleitores, dos quais 564 afirmam terem votado no candidato do partido liberal. Obtenha um intervalo de confiança não conservativo com coeficiente de confiança de 95% para a proporção p .

Passo 1

a)

Como vimos, o tamanho n da amostra para proporção amostral deve seguir: n = z 1 - α 2 d 2 ⋅ p ⋅ 1 - p

Mas aí deu ruim porque não sabemos o valor de p ?! Deu nada! Nesse caso, a gente vai usar aquela relação:

p ( 1 - p ) ≤ 1 4

Isso acontece quando p = 0,5 . Vamos usar esse máximo valor então, onde p 1 - p = 1 4 .

Temos o α = 0,05 , já que o nível de confiança é igual a 0,95 . Isso dá pra gente:

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Substituindo tudo na fórmula do n , e lembrando que a margem de erro d = 0,01 :

n = 1,96 0,01 2 1 4 = 9604

Passo 2

b)

Opa, agora nosso valor máximo assumido não é mais 0,5 e sim 0,4 . Então vamos usar p = 0,4 na fórmula:

n = z 1 - α 2 d 2 ⋅ p ⋅ 1 - p = 1,96 0,01 2 0,4 ( 1 - 0,4 ) = 9220

Passo 3

c)

Para um IC não conservativo para p , usamos:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

Onde, como dado no enunciado, temos:

n = 1200

α = 0,05 → z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

E a proporção amostral vai ser:

p ^ = 564 1200 = 0,47

Nosso IC fica:

I C = 0,47 - 1,96 . 0,47 1 - 0,47 1200   ;   0,47 + 1,96 . 0,47 1 - 0,47 1200

I C = ( 0,4418,0 , 4982 )

Resposta

a)

9604

b)

9220

c)

I C = ( 0,4418,0 , 4982 )

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