Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Enunciado

Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais se verificou que 120 são favoráveis à proposta da reitoria.

  1. Determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 3%.
  2. Qual deverá ser o tamanho da amostra com um erro máximo de 4%, i.e. para que o raio do intervalo de confiança seja inferior a 4%, ao mesmo nível de significância do item a)?

Passo 1

(a)

Intervalo de confiança para proporção! Mas é conservativo ou não-conservativo? Como nada tá sendo dito, vamos considerar que seja não conservativo. Nesse caso, nossa fórmula é:

I C = p ^ - z 1 - α 2 p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 p ^ 1 - p ^ n

E o enunciado diz que o nível de significância é 3%, ou seja:

α = 0,03

E o tamanho da amostra n :

n = 200

Passo 2

Calculando nosso p ^ :

p ^ = 120 200 = 0,6

Passo 3

Agora vamos achar o valor de z 1 - α 2 :

z 1 - α 2 = z 1 - 0,03 2 = z 0,985

Achando esse cara no corpo da tabela da Normal:

z 0,985 = 2,17

Passo 4

Aplicando todos os valores na fórmula:

I C = 0,6 - 2,17 0,6 1 - 0,6 200   ;   0,6 + 2,17 0,6 1 - 0,6 200

I C = ( 0,5248 ; 0,6752 )

Passo 5

(b)

Lembrando a fórmula do dimensionamento da amostra:

n = z 1 - α 2 d 2 p . ( 1 - p )

Queremos que o erro máximo seja de 4%, ou seja:

d = 0,04

Vamos usar a nossa proporção amostral como p :

p = 0,6

E o z já calculamos! Juntando tudo na fórmula:

n = 2,17 0,04 2 0,6 . 1 - 0,6 = 706,3 → 707

Resposta

I C = ( 0,5248 ; 0,6752 )

707   a l u n o s

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