Exercícios Resolvidos de Lei da Refração

Origem do Exercício

Um banhista olha para dentro de uma piscina em uma parte com profundidade real de 1,0 m . O índice de refração da água da piscina é aproximado por 1,5 .

Utilizando a aproximação de pequenos ângulos tan ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ ≈ θ para os feixes incidente e refratado, estime a profundidade aparente da piscina observada pelo banhista.

  1. 1,50 m
  2. 0,50 m
  3. 1,24 m
  4. 0,67 m
  5. 1,00 m
  6. 0,34 m

Passo 1

A relação entre a profundidade real e a profundidade aparente é dada aproximadamente por:

d a p a r e n t e = d n

Se tivermos essa fórmula na mão, é só substituir!

d a = 1 1,5 ≈ 0,67   m

Que é a letra d .

Mas... que droga de fórmula é essa e daonde ela surgiu???

Vamos mostrar nos passos 2 e 3.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo uma análise gráfica do problema, mas para isso teremos que definir algumas coisas. Imagine dois raios, cada um saindo do fundo da piscina e indo pra cada olho do banhista.

Na figura acima, θ 1 e θ 2 são os ângulos formados com a normal pelos raios incidentes e refratados, respectivamente. Além disso, x é a distância entre o ponto em que os raios cruzam a interface entre os dois meios e o eixo central do ponto que definimos.

Daqui podemos separar dois triângulos:

As tangentes de θ 1 e θ 2 são, respectivamente:

tan ⁡ θ 1 = x d

tan ⁡ θ 2 = x d a

Considerando θ 1 e θ 2 suficientemente pequenos (aqui está aproximação do enunciado), podemos dizer que:

sen ⁡ θ 1 ≈ tan ⁡ θ 1 = x d

sen ⁡ θ 2 ≈ tan ⁡ θ 2 = x d a

Passo 3

De acordo com a Lei de Snell, temos que:

n a r sen ⁡ θ 2 = n á g u a sen ⁡ θ 1

Onde n a r = 1 e, de acordo com o enunciado, n á g u a = n , logo:

sen ⁡ θ 2 = n . sen ⁡ θ 1

Fazendo as substituições das expressões que encontramos no Passo 2, teremos:

x d a = n x d

Organizando os termos, teremos, finalmente:

d a = d n

Uma observação: Não faz muita diferença se você considerar dois raios, um pra cada olho do banhista, ou pensar um banhista pontual olhando a quina da piscina.

Porque acabaríamos usando os mesmos dois triângulos retângulos. A ideia de “dois raios, um pra cada olho” é só pra garantirmos que tem dois raios formando a imagem do chão da piscina ou de qualquer objeto no chão da piscina.

Mas as duas imagens estão conceitualmente corretas.

Resposta

Letra d

0,67   m

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