Exercícios Resolvidos de Lei da Refração

Origem do Exercício

Uma onda eletromagnética plana e monocromática propaga-se num meio material com permeabilidade magnética igual a μ 0 .

No instante t = 0 , os campos elétrico e magnético são descritos por E → = E k → e B → = B j → , onde E e B são funções de x apresentadas na figura abaixo.

São dados:

c = 3 × 10 8 e ϵ 0 = 9 × 10 - 12   C 2 / N m 2

  1. Qual é a direção de propagação dessa onda? Justifique.
  2. Quais são a velocidade dessa onda e o índice de refração do meio?
  3. Qual é o valor da permissividade desse meio?
  4. Qual é a frequência dessa onda?
  5. Em relação a esta onda, qual é a média temporal da energia contida num volume correspondente a um metro cúbico?

Passo 1

Letra a)

Primeiro, para sabermos a direção da propagação de onda, podemos usar a direção de vibração dos campos elétrico e magnético.

A onda eletromagnética se propaga no mesmo sentido que o produto vetorial entre os campos:

E → × B → = E k → × B j → = E B   k → × j →

Onde k → é o vetor unitário na direção do eixo z e j → é o vetor unitário na direção do eixo y . Usando a regra da mão direita, podemos colocar nossa mão direita no sentido de k → , com a palma voltada para j → e avaliar o sentido do produto vetorial como sendo o do nosso dedão.

Logo:

k → × j → = - i →

Onde i → é o vetor unitário no sentido do eixo x . A onda se propaga então no sentido negativo do eixo x .

O produto E B não altera esse resultado pois E e B têm o mesmo sinal, pois pelos gráficos quando E > 0 temos B > 0 e quando E < 0 temos B < 0 , o que implica que E B > 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

A velocidade da luz é dada pela relação:

v = E B

Independente do ponto do eixo x que usarmos para calculá-la, o valor dará sempre o mesmo. Sendo assim, usando x = 0 e os gráficos acima, temos:

v = E x = 0 B x = 0 = 9 6 ∙ 10 - 8 = 1,5 ∙ 10 8   m / s

Passo 3

Agora, vamos encontrar o índice de refração do meio.

Ele é a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio.

n = c v = 3 ∙ 10 8 1,5 ∙ 10 8 = 2

Passo 4

Letra c)

Podemos relacionar a velocidade da luz em um meio com a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do meio. Essa relação é:

1 v 2 = ϵ μ

Onde ϵ é a permissividade elétrica do meio e μ é a permeabilidade magnética do meio. Pelo enunciado a permeabilidade magnética é a mesma que no vácuo:

μ = μ 0

E rearrumando a equação acima:

v = 1 ϵ μ 0

Substituindo na equação da refração, lembrando que c é a velocidade da luz no vácuo (logo, usamos a permissividade e a permeabilidade do vácuo):

n = c v = ϵ μ 0 ϵ 0 μ 0 = ϵ ϵ 0

Elevando ao quadrado:

ϵ = n 2 ϵ 0

Dos itens anteriores e do enunciado:

  • n = 2
  • ϵ 0 = 9 ∙ 10 - 12   C 2 / N m 2

ϵ = 2 2 ∙ 9 ∙ 10 - 12 = 4 ∙ 9 ∙ 10 - 12 = 3,6 ∙ 10 - 11   C 2 / N m 2

Passo 5

Letra d)

Os gráficos da questão nos dizem o valor dos campos elétrico e magnético ao longo do eixo x . Isso nos permite encontrar o comprimento da onda vendo a distância entre duas cristas.

λ = 50 ∙ 10 - 6   m

A velocidade de uma onda é dada por:

v = λ f

Podemos então usar a velocidade obtida nos itens anteriores, v = 1,5 ∙ 10 8   m / s junto com o comprimento de onda e calcular a frequência:

f = v λ = 1,5 ∙ 10 8 50 ∙ 10 - 6 = 0,03 ∙ 10 14   H z = 3 ∙ 10 12   H z = 3 ∙ 10 6   M H z

Passo 6

Letra e)

A densidade de energia de uma onda eletromagnética cujo campo elétrico tem amplitude E é dada por:

u = ϵ E 2

O valor médio da densidade de energia é:

< u >   = ϵ < E 2 >

Pelo gráfico, vemos que E oscila de forma bem parecida com um seno ou coseno e, sendo assim, E 2 oscila como seno ou coseno ao quadrado.

Mas a média de uma função seno ao quadrado é igual a média dos valores entre os quais ela oscila. Como E 2 oscila entre E m á x 2 e 0 , logo sua média fica em E m á x 2 / 2 . Substituindo:

< u >   = ϵ E m á x 2 2

Do gráfico e dos itens anteriores:

  • ϵ = 3,6 ∙ 10 - 11   C 2 / N m 2
  • E m á x = 9   N / C

< u >   = 3,6 ∙ 10 - 11 ∙ 9 2 2 = 145,8 ∙ 10 - 11   J ≅ 1,5 ∙ 10 - 9   J / m 3

Como temos V = 1 m 3 , a energia média nesse volume será:

U = < u > ∙ V =   < u >   = 145,8 ∙ 10 - 11   J ≅ 1,5 ∙ 10 - 9   J / m 3

Resposta

Letra a)

A onda se propaga no sentido negativo do eixo x .

Letra b)

n = 2

Letra c)

ϵ = 3,6 ∙ 10 - 11   C 2 / N m 2

Letra d)

f = 3 ∙ 10 12   H z = 3 ∙ 10 6   M H z

Letra e)

U = 1,458 ∙ 10 - 9   J

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