Exercícios Resolvidos de Lei da Refração

É conhecido que um campo elétrico de uma onda plana eletromagnética propagando-se num meio dielétrico (onde μ = μ c = 4 π × 10 - 7   T . m / A ) é dado por

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

onde E 0 = 2 × 10 - 6   V / m , ω = 6 × 10 5   r a d / s e k → = 3 × 10 - 3   m - 1 .

Obs: As relações e as equações para uma onda eletromagnética num meio dielétrico são as mesmas que para uma onda eletromagnética no vácuo, substituindo apenas nas relações a velocidade c da onda eletromagnética no vácuo pela velocidade v da onda eletromagnética no meio dielétrico.

a ) Qual é o índice de refração do meio?

b ) Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?

c ) Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

d ) Que tipo de polarização tem esta onda? Justifique a sua resposta.

e ) Determine o vetor de Poynting S → .

Passo 1

a ) Qual é o índice de refração do meio?

O índice de refração do meio está associado à velocidade da luz no meio pela equação:

n = c v

Tá legal que não temos v , mas podemos usar a relação entre ω e k → , dada por:

ω = k → v → v = ω k →

Substituindo na expressão de n , teremos:

n = c k → ω

Agora é só substituir os valores e correr pro abraço.

n = 3 × 10 8 × 3 × 10 - 3 6 × 10 5

n = 9 × 10 5 6 × 10 5 → n = 9 6 = 3 2

n = 1,5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?

No fundo, nós poderíamos reescrever o vetor campo elétrico da seguinte forma:

E → = E 0 cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t z ^

O termo k → ∙ r → está associado à direção de propagação da onda, e r → = x ,   y ,   z .

Como todo o vetor, podemos reescrever o vetor k → da seguinte forma:

k ^ = k → k → → k → = k → k ^

Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:

E → = E 0 cos ⁡ k → k ^ ⋅ r → - ω t z ^

Agora vamos comparar com a expressão do campo elétrico dado pelo problema:

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Comparando essas suas expressões, podemos dizer que:

k ^ ∙ r → = 2 2 x - 2 2 y

k ^ ∙ x ,   y ,   z = 2 2 x - 2 2 y

Logo:

k ^ = 2 2 ,   - 2 2 ,   0

Ou:

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

Passo 3

c ) Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

Uma forma de calcular o campo magnético utilizando o vetor k ^ , é através da expressão:

B → = k ^ × E → v

Tem um detalhe importante que não dá pra esquecer, a onda está se propagando em um meio dielétrico, então ao invés de usarmos c , teremos que usar v para a velocidade da luz no meio, onde:

v = ω k →

v = 6 × 10 5 3 × 10 - 3

v = 2 × 10 8   m / s

Agora já podemos calcular o campo magnético.

B → = 1 v 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Pra simplificar a vida vamos escrever E → = E z z ^ e depois substituímos no final! ;)

B → = 1 v 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × E z z ^

Ficou até simpático, né?

B → = 2 2 E z v x ^ - y ^ × z ^

Se você é fera em produto vetorial pode fazer direto lembrando que x ^ × z ^ = - y ^ e que - y ^ × z ^ = - x ^ . Mas se você se sente mais seguro com determinante a gente faz também!

x ^ - y ^ × z ^ = x ^ y ^ z ^ 1 - 1 0 0 0 1 = - x ^ - y ^

Assim o nosso campo magnético vai ficar

B → = 2 2 E z v - x ^ - y ^ = - 2 2 E z v x ^ + y ^

Agora vamos substituindo

B → = - 2 2 E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t x ^ + y ^

Agora podemos substituir os valores de E 0 , v , k → e ω .

B → = - 2 2 2 × 10 - 6 2 × 10 8 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^

Finalmente:

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^   T

Passo 4

d ) Que tipo de polarização tem esta onda? Justifique a sua resposta.

Por convenção, nós definimos a direção de polarização de uma onda eletromagnética como a direção do vetor campo elétrico E → .

Essa definição é adotada porque, geralmente, os detectores de ondas eletromagnéticas funcionam devido a ação do campo elétrico.

Olhando para a expressão do campo elétrico

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Vemos que ele se propaga somente na direção z , logo, a polarização é linear.

Passo 5

e ) Determine o vetor de Poynting S → .

Por definição, o vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0

Onde:

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

B → = - 2 2 E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t x ^ + y ^

Substituindo esses caras na expressão de S → , teremos:

S → = 1 μ 0 E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^ × - 2 2 E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t x ^ + y ^

O negócio agora é ir arrumando esse cara com calma pra não perder nenhum detalhe.

S → = - 2 2 1 μ 0 E 0 2 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 z ^ × x ^ + y ^

S → = - 2 2 1 μ 0 E 0 2 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 - x ^ + y ^

S → = 1 μ 0 E 0 2 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 2 2 x ^ - 2 2 y ^

Agora já podemos substituir os valores, onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7 T . m / A

E 0 = 2 × 10 - 6 V m

v = 2 × 10 8   m / s

ω = 6 × 10 5   r a d / s

k → = 3 × 10 - 3   m - 1

Logo:

S → = 1 4 π × 10 - 7 2 × 10 - 6 2 2 × 10 8 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t 2 2 2 x ^ - 2 2 y ^

S → = 1 4 π × 10 - 7 4 × 10 - 12 2 × 10 8 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t 2 2 2 x ^ - 2 2 y ^

Finalmente:

S → = 10 - 13 2 π cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t 2 2 2 x ^ - 2 2 y ^ W / m 2

Resposta

a )

n = 1,5

b )

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

c )

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^   + y ^     T

d )

Polarização linear.

e )

S → = 10 - 13 2 π cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 2 2 x ^ - 2 2 y ^     W / m 2

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