Exercícios Resolvidos de Lentes Delgadas

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 72

Duas lentes delgadas de distâncias focais f 1 e f 2 estão em contato. Mostre que são equivalente a uma única lente delgada com uma distância focal f = f 1 f 2 / ( f 1 + f 2 ) .

Passo 1

O nosso arranjo possui duas lentes, onde as duas estão em contato. Assim como vimos na teoria, vamos pensar em cada lente separadamente, beleza?

Pensando na Lente 1, as distâncias p 1 e i 1 e a distância focal f 1 estão relacionadas por:

1 f 1 = 1 p 1 + 1 i 1

O macete aqui é posicionar o objeto a uma distância praticamente infinita da Lente 1.

Oi?! Como assim?!

Calma... se liga no que acontece se nós considerarmos p 1 = ∞ :

1 f 1 = 1 ∞ + 1 i 1

1 f 1 = 1 i 1 → i 1 = f 1

Ou seja, a imagem será formada sobre o foco.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para a Lente 2, aplicando a mesma fórmula que usamos anteriormente:

1 f 2 = 1 p 2 + 1 i 2

Agora, a imagem formada pela Lente 1 será o objeto da Lente 2. Dessa forma, podemos dizer que:

p 2 = - i 1

Se i 1 for positivo, a imagem formada pela Lente 1 está atrás da Lente 2 e p 2 será negativo, ou seja, o objeto para a Lente 2 é virtual.

Se i 1 for negativo, a imagem formada pela Lente 1 está à frente da Lente 2 e p 2 será positivo, ou seja, o objeto para a Lente 2 é real.

Aplicando o que encontramos no Passo 1, teremos:

p 2 = - f 1

Passo 3

Agora vamos pensar no conjunto das duas lentes em contato como uma lente só. Assim, as distâncias p , i e f serão relacionadas por:

1 f = 1 p + 1 i

Assim como vimos no Passo 1, estamos colocando o objeto a uma distância infinita do sistema. Logo, para p = ∞ , teremos:

1 f = 1 ∞ + 1 i

1 f = 1 i → i = f

No entanto, a distância i para o qual a imagem será formada se trata da distância i 2 da Lente 2. Portanto:

i 2 = f

Passo 4

-

Agora que já encontramos uma relação para p 2 e i 2 , podemos aplica-las na seguinte equação:

1 f 2 = 1 p 2 + 1 i 2

Onde:

p 2 = - f 1

i 2 = f

Logo:

1 f 2 = - 1 f 1 + 1 f

Agora é só reorganizar esse cara:

1 f = 1 f 1 + 1 f 2

1 f = f 1 + f 2 f 1 f 2

Finalmente:

f = f 1 f 2 f 1 + f 2

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