Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere a base

B = { 1 , t + 1 ,   t 2 + t + 1 }

De P 2 ( R ) , a base

C = { 1,0 , 1 ,   1,1 , 0 , ( 0,1 , 1 ) }

De R 3 e a base D = { 1 , t , t 2 } de P 2 ( R ) . Sejam

T : P 2 R → P 2 R                         S : P 2 R → R 3

Transformações lineares tais que:

S 1 = 2,2 , 2 ,                     S t + 1 = 3,5 , 2 ,                   S t 2 + t + 1 = ( 2,1 , 1 )

E:

S ∘ T B C = 6 5 3 12 5 0 4 0 - 1

Temos que o determinante da matriz T D é igual a:

  1. 10
  2. - 30
  3. - 10
  4. 30
  5. - 3

Passo 1

Faaala, pessoal! Vamos nos valer de algumas propriedades de mudança de base nesta questão, mas o primeiro passo é analisar como S ∘ T B C é composta e chegar ao resultado esperado.

Veja que S ∘ T B C = S B C T B B onde podemos construir S B C a partir dos valores de S dados e a mudança de ambas as bases de uma transformação não altera o determinante, logo:

det ⁡ T D = det ⁡ T B = det ⁡ S ∘ T B C det ⁡ S B C

Passo 2

Calculando, pois, o determinante de S ∘ T B C , temos:

6 5 3 12 5 0 4 0 - 1 L 1 ' → L 1 - L 2 =   - 6 0 3 12 5 0 4 0 - 1 L 1 ' → L 1 3 =  

= 3 - 2 0 1 12 5 0 4 0 - 1 L 1 ' → L 1 + L 3 =  

= 3 2 0 0 12 5 0 4 0 - 1 = 3 ⋅ 2 - 1 1 + 1 5 0 0 - 1

= 6 ⋅ 5 ⋅ - 1 = - 30

Passo 3

Quanto a S B C , veja que conectando os elementos das bases:

S 1 = 2,2 , 2 = 1 1,0 , 1 +   1 1,1 , 0 + 1 ( 0,1 , 1 )

S t + 1 = 3,5 , 2 = 0 1,0 , 1 + 3   1,1 , 0 + 2 ( 0,1 , 1 )

S t 2 + t + 1 = 2,1 , 1 = 1 1,0 , 1 + 1   1,1 , 0 + 0 ( 0,1 , 1 )

Teremos a matriz compondo-o a por colunas. Cada coluna é dada pelos coeficientes da base da imagem de um elemento da base do domínio. Assim:

S B C = 1 0 1 1 3 1 1 2 0

Cujo determinante é dado por:

1 0 1 1 3 1 1 2 0 = 2 - 3 + 2 = - 3

Passo 4

Reunindo os resultados:

det ⁡ T D = det ⁡ S ∘ T B C det ⁡ S B C = - 30 - 3 = 10

Resposta

  1. 10

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