Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Em ℘ 2 , considere a base β = { 1 + X ,   X ,   1 - X 2 } . Seja α uma outra base tal que I β α = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 .

a) Determine o polinômio p X ∈   ℘ 2 tal que p X α = 1 ,   - 1 ,   2 T .

b) Determine a matriz I α β .

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma base β = { 1 + X ,   X ,   1 - X 2 } e disse que tem outra base α tal que I β α = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 . Mas o que isso quer dizer? Significa que essa é a matriz de mudança da base β para a base α .

Beleza, no primeiro item do nosso enunciado ele nos pede o polinômio p ( X ) ∈   ℘ 2 tal que p X α = 1 ,   - 1 ,   2 T . Como a gente pode fazer isso?

Bom, como I β α é a matriz de mudança de base de β para α , nós temos as coordenadas dos elementos de β como combinação linear dos elementos da base α , que nós já conhecemos também. Então, nós podemos usar a relação:

p X β = I β α ∙ p X α

Assim, nós encontramos o polinômio na base β e em seguida conseguimos determinar nosso p ( X ) .

Vamos lá!

Passo 2

Calculando p ( X ) na base β , temos:

p X β = I β α ∙ p X α

Não podemos esquecer que I β α = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 e que p X α = 1 ,   - 1 ,   2 T . Observe que eu tenho um sinal de transposta ali 1 ,   - 1 ,   2 , então vamos escrevê-lo como um vetor coluna:

p X β = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 ∙ 1 - 1 2

Fazendo a multiplicação das matrizes (não esquece que é linha vezes coluna), temos:

p X β = 1 ∙ 1 + 1 ∙ - 1 + ( 1 ∙ 2 ) 1 ∙ 1 + 2 ∙ - 1 + ( 1 ∙ 2 ) 0 ∙ 1 + 1 ∙ - 1 + ( 1 ∙ 2 ) = 2 1 1

Agora nós temos β = { 1 + X ,   X ,   1 - X 2 } , e temos essa matriz de coordenadas do polinômio p ( X ) com relação a base β que acabamos de encontrar. Dessa forma, nós podemos escrever nosso polinômio como uma combinação linear desses elementos:

p X = 2 ∙ 1 + X + 1 ∙ X + 1 ∙ ( 1 - X 2 )

Resolvendo os produtos:

p X = 2 + 2 X + X + 1 - X 2

p X = 3 + 3 X - X 2

E resolvemos a letra a.

Passo 3

No item b, o enunciado nos pede para determinar a matriz I α β . Como nós podemos fazer isso?

Nós já temos I β α = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 que é a matriz de transição da base β para a base α . A matriz de transição da base α para a base β vai ser então, por definição, a matriz inversa de I β α .

Então vamos calcular essa inversa usando o método de Gauss-Jordan. Lembra dele? Nós escrevemos a matriz identidade à direita da matriz que a gente quer inverter, em seguida realizamos operações com as linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que aparecer no lado direito, será nossa inversa. Vamos lá!

1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 4

Vamos escalonar a matriz do lado direito, primeiro subtraindo a linha 2 da linha 1 :

1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - L 1 → 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

Agora vamos subtrair a linha 3 da linha 2 :

1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1 L 3 → L 3 - L 2 → 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1

Agora subtraindo a linha 1 da linha 3 :

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 L 1 → L 1 - L 3 → 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

Só falta zerar o segundo elemento da primeira linha, então vamos subtrair a linha 1 da linha 2 :

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1 L 1 → L 1 - L 2 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

Encontramos nossa inversa, logo:

I α β = 1 0 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

É isso, galera. Encerramos o exercício! 😉

Resposta

a.

p X = 3 + 3 X - X 2

b.

I α β = 1 0 - 1 - 1 1 0 1 - 1 1

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