Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere a transformação linear T : R 3 → R 3   cuja matriz na base canônica a do R 3 é

T a a = 3 0 0 0 2 1 0 1 2

  1. Encontre uma base ortonormal β (referente ao produto interno canônico) tal que T β β é diagonal.
  2. Escreva T β β .
  3. Escreva T a β

Passo 1

Belezera galerinha bonita, na letra (a) queremos encontrar uma base ortonormal β tal que T β β é diagonal, ou seja, queremos mudar a base de T afim de que quando T estiver escrito na base β , ele seja uma matriz diagonal.

MAAASSS, o bizu master aqui, é que a base que faz exatamente essa função, é a nossa conhecidíssima base de autovetores. Em outras palavras, quando ele diz pra gente encontrar uma base ortonormal β tal que T β β é diagonal, na verdade verdadeira ele tá querendo que a gente encontra uma base de autovetores!!!

Passo 2

Então se é os autovetores que queremos, é eles que vamos encontrar. Pra isso vamos primeiro encontrar os autovalores, usando a relação:

det ⁡ T - λ I = 0

Onde λ I é a matriz diagonal que possui os autovalores λ na diagonal, logo:

det ⁡ 3 0 0 0 2 1 0 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 0

det ⁡ 3 - λ 0 0 0 2 - λ 1 0 1 2 - λ = 0

E calculando o determinante dessa matriz, descobrimos que:

det ⁡ 3 - λ 0 0 0 2 - λ 1 0 1 2 - λ = 3 - λ 2 - λ 2 - 3 - λ = 0

det ⁡ 3 - λ 0 0 0 2 - λ 1 0 1 2 - λ = 3 - λ 2 - λ 2 - 1 = 0

3 - λ 2 - λ 2 - 1 = 0

Logo as raízes desse polinômio serão:

λ 1 = 3 ,     λ 2 = 1

Passo 3

Belezera, agora calcular os autovetores associados aos autovalores, devemos fazer:

N u c T - λ I

Logo para o autovetor λ 1 = 3 , temos:

N u c 3 - λ 1 0 0 0 2 - λ 1 1 0 1 2 - λ 1 = N u c 3 - 3 0 0 0 2 - 3 1 0 1 2 - 3

N u c 0 0 0 0 - 1 1 0 1 - 1

E resolvendo esse núcleo, descobrimos que:

0 0 0 0 - 1 1 0 1 - 1 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0

Logo, da segunda linha tiramos que:

0 x - y + z = 0

y = z

E nosso autoespaço v 1 = x ,   y ,   z é dado por:

x ,   y ,   z = x ,   z ,   z

x ,   z ,   z = x ,   0 ,   0 + 0 ,   z ,   z

x ,   z ,   z = 1 ,   0 ,   0 x + 0 ,   1 ,   1 z

Portanto os autovetores associados a λ 1 = 3 são:

1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1

E normalizando o segundo autovetor 0 ,   1 ,   1 , temos que:

0 ,   1 ,   1 ⇒ 1 0 2 + 1 2 + 1 2 0 ,   1 ,   1

0 ,   1 ,   1 ⇒ 1 2 0 ,   1 ,   1

E nosso conjunto será:

1 ,   0 ,   0 ,   0 , 1 2 ,   1 2

Passo 4

Belezoca, agora para o segundo autovalor λ 2 = 1 , temos que:

N u c 3 - λ 2 0 0 0 2 - λ 2 1 0 1 2 - λ 2 = N u c 3 - 1 0 0 0 2 - 1 1 0 1 2 - 1

N u c 2 0 0 0 1 1 0 1 1

E resolvendo esse núcleo, descobrimos que:

2 0 0 0 1 1 0 1 1 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 2 0 0 0 1 1 0 0 0

Logo, da segunda linha tiramos que:

0 x + y + z = 0

y = - z

E da primeira linha:

2 x + 0 y + 0 z = 0

2 x = 0

x = 0

E nosso autoespaço v 2 = x ,   y ,   z vai ser dado por:

x ,   y ,   z = 0 ,   - z ,   z

x ,   z ,   z = 0 ,   - 1 ,   1 z

Portanto o autovetor associado a λ 2 = 1 é:

0 ,   - 1 ,   1

E normalizando o autovetor, temos que:

0 ,   - 1 ,   1 ⇒ 1 0 2 + - 1 2 + 1 2 0 ,   - 1 ,   1

0 ,   - 1 ,   1 ⇒ 1 2 0 ,   - 1 ,   1

Tal que nosso conjunto de autovetores será:

β = 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 1 2 ,   1 2 ,   0 , - 1 2 ,   1 2

Passo 5

Iradoso, então na letra (b), a matriz T β β vai ser a matriz diagonal onde a diagonal principal é formada pelos autovalores respetivos aos autovetores da base β :

T β β = 3 0 0 0 3 0 0 0 1

O autovalor 3 se repete duas vezes, devido ao numero de autovetores que ele possui associado.

Passo 6

E por fim, na letra (c), queremos encontrar a matriz T a β , ou seja, a matriz mudança de base em T a base a para β , onde a é a base canônica. E nesse caso, pra escrevermos essa matriz usamos a relação:

T a β = ↑ ↑ … ↑ T a v 1 T a v 2 …   T a v n ↓ ↓ … ↓

Onde v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n são os vetores da base β . Logo:

T a v 1 = 3 0 0 0 2 1 0 1 2 1 0 0 = 3 0 0

T a v 2 = 3 0 0 0 2 1 0 1 2 0 1 / 2 1 / 2 = 0 3 / 2 3 / 2

T a v 3 = 3 0 0 0 2 1 0 1 2 0 - 1 / 2 1 / 2 = 0 - 1 / 2 1 / 2

Portanto:

T a β = 3 0 0 0 3 2 - 1 2 0 3 2 1 2

Resposta

  1. β = 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 1 2 ,   1 2 ,   0 , - 1 2 ,   1 2
  2. T β β = 3 0 0 0 3 0 0 0 1 .
  3. T a β = 3 0 0 0 3 2 - 1 2 0 3 2 1 2

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