Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Sejam E e F bases de V 3 . Suponha que E = e 1 , e 2 , e 3 e que

e 1 = x , y , z F

e 2 = 0,3 , 3 F

e 3 = 0,0 , 2 F

Seja M ∈ M 3 ( R ) a matriz que satisfaz M u F = u E , para todo u ∈ V 3 . Considere o vetor v ∈ V 3 tal que v = 1,1 , 1 E . Sabendo que v = 2,1 , 3 F , é correto afirmar que o determinante de M é igual a

a) 12

b) 24

c) 3

d) 1 3

e) 1 12

f) 1 24

Passo 1

E aeee pessoal, tudo certo?

Vem comigo, vamos falar sobre matriz de mudança de base relacionada a determinantes

Temos duas bases E e F , onde sabemos que

E = x , y , z F , 0,3 , 3 F , 0,0 , 2 F

Opa opa, se liga só: os vetores de E estão escritos em relação à base F :O isso já mostra pra gente uma matriz de mudança de base de E para F :

M E , F = x 0 0 y 3 0 z 3 2

Mas então continuando, temos uma matriz M tal que

M u F = u E

Ué, essa matriz ta mudando o vetor u da base F ( u F ) para a base E ( u E )... Então ela nada mais é do que a matriz de mudança de base de F para E

M = M F , E

E aí queremos encontrar o determinante dessa matriz M , vamos lá?

Passo 2

Nós temos a matriz de mudança de base de E para F :

M E , F = x 0 0 y 3 0 z 3 2

Mas queremos o determinante de M F , E , que é a sua matriz inversa:

M E , F = M F , E - 1

Quando invertemos uma matriz de determinante d , o determinante da sua inversa vai ser 1 d

Então, temos que

det ⁡ M F , E = 1 det ⁡ M E , F

Calculando o determinante de M E , F :

x 0 0 y 3 0 z 3 2 x 0 y 3 z 3 = 6 x

Então, o determinante que queremos vai ser

det ⁡ M F , E = 1 det ⁡ M E , F = 1 6 x

Opa, agora só falta encontrar esse x pra termos o valor completo

Passo 3

Sabemos que um vetor v escrito na base E vai ser v = 1,1 , 1 E , enquanto na base F vai ser v = 2,1 , 3 F

Então, podemos escrever

v F = M E , F . v E

2 1 3 = x 0 0 y 3 0 z 3 2 . 1 1 1

Multiplicando as matrizes:

x y + 3 z + 3 + 2 = 2 1 3

Igualando as coordenadas, encontramos que x = 2 , certo?? Agora é só substituir no determinante que encontramos

Passo 4

Lá do passo 2, temos que det ⁡ M F , E = 1 6 x

E do passo anterior, temos que x = 2

Então

det ⁡ M F , E = 1 6 ∙ 2 = 1 12

Ebaaaa, a alternativa correta é a letra E

Resposta

e) 1 12

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