Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere, em E 3 , o cubo de vértices A , B , C , D , E , F , G , H e aresta unitária, conforme a figura

Suponha V 3 orientado de modo que a base B = A B , A C , A E seja positiva, e considere os vetores u = 2 , - 2,1 B e v = - 1,2 , 1 B . Então, as coordenadas, em relação à base B , do produto vetorial u ∧ v são

a) - 4,1 , 1

b) - 5,1 , 2

c) - 5 , - 3,1

d) - 3 , - 2,1

e) - 3 , - 1 , - 1

f) - 4 , - 3,2

g) - 7,2 , 1

h) - 5,2 , - 1

Passo 1

Olááá galera, preparados pra mais uma?

Essa questão é o seguinte, ela dá dois vetores escritos na base B :

u = 2 , - 2,1 B

v = - 1,2 , 1 B

E aí queremos as coordenadas de u ∧ v nessa mesma base B

Aí a gente pensa “hahaha ué é só fazer o produto vetorial normal né?”

Nananinanão! O produto vetorial como a gente conhece é definido para bases ortonormais positivas. Mas a base B não é ortonormal...Ela é formada pelos vetores A B , A C e A E :

Então aqui o esquema vai ser o seguinte:

- Vamos encontrar uma base C nesse cubo que seja ortonormal e tenha algum tipo de relação com os vetores de B (os vetores A B , A C , A E )

- Vamos encontrar as coordenadas de u e v na base C

- Então, calculamos u C ∧ v C

- Por fim, escrevemos as coordenadas de u C ∧ v C na base B novamente, e essa vai ser a resposta que buscamos, fechou?

Então vamos!

Passo 2

Vamos encontrar uma base ortonormal nesse cubo:

Podemos usar, por exemplo:

C = A B , A D , A E

Porque é uma base bem próxima da base B = A B , A C , A E (lembrando que, geometricamente, A C = A B + A D )

A base C é uma base ortonormal (os vetores são ortogonais e medem 1) e positiva. Então podemos usar essa base para calcular o produto vetorial de u e v

Passo 3

Para calcularmos o produto vetorial u C ∧ v C , precisamos primeiro encontrar os vetores u e v na base C

Para isso, precisamos da matriz de mudança de base de B para C , a matriz M B , C . Para isso, basta colocarmos os vetores de B escritos na base C nas colunas de uma matriz

Vamos pensar nas coordenadas assim olha:

Como se realmente estivéssemos em x y z e o ponto A fosse a origem

Então, os vetores de B escritos na base C vão ser

A B = 1,0 , 0

A C = 1,1 , 0

A E = ( 0,0 , 1 )

E portanto, a matriz M B , C vai ser

M B , C = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Passo 4

Agora que temos a matriz de mudança de base, podemos encontrar u C e v C

u C = M B , C . u B = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 . 2 - 2 1 = 0 - 2 1

v C = M B , C . v B = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 . - 1 2 1 = 1 2 1

Showww, então temos u C = 0 , - 2,1 e v C = 1,2 , 1

Agora vamos encontrar o produto vetorial entre eles

Passo 5

Já sabemos que u C = 0 , - 2,1 e v C = 1,2 , 1 . Na base ortonormal C = A B , A D , A E , o produto vetorial u C ∧ v C vai ser

A B A D A E 0 - 2 1 1 2 1

Então vamos calcular esse determinante:

u C ∧ v C = A B A D A E 0 - 2 1 1 2 1 A B A D 0 - 2 1 2 = - 2 A B + A D + 2 A E - 2 A B

u C ∧ v C = - 4 A B + A D + 2 A E

Legal, então na base C , o produto vetorial vai ser - 4,1 , 2 . Mas sabemos que A C = A B + A D . Então A D = A C - A B :

u C ∧ v C = - 4 A B + ( A C - A B ) + 2 A E

u C ∧ v C = - 5 A B + A C + 2 A E

Opa opa opa!! Então escrevemos o produto vetorial de acordo com os vetores A B , A C , A E , que são os vetores da base B :

B = A B , A C , A E

Logo, na base B temos que

u C ∧ v C = ( - 5,1 , 2 )

Então a alternativa correta é a letra B!

Ufa, essa foi longa hahaha

Resposta

b) ( - 5,1 , 2 )

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