Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere as bases B e C de P 2 ( R ) dadas por:

B = { 1 + t + t 2 ,   1 - 7 t + t 2 ,   t + t 2 } e C = { 7 + 2 t ,   3 + t ,   t 2 }

Denotando por I :   P 2 R → P 2 ( R ) a transformação identidade, teremos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz I B C será igual a:

  1. - 52
  2. 52
  3. 65 / 8
  4. 63 / 8
  5. 6

Passo 1

Faaaaalem, meus consagrados! As matrizes de mudança de base de uma base U = { u 1 ,   … ,   u n } para a base canônica H são dadas por I U H : V U → V H onde

[ I ] U H = ( u 1   …     u n )

Dessa forma, temos para H = { 1 , t , t 2 } que:

I B H = 1 1 0 1 - 7 1 1 1 1                     I C H = 7 3 0 2 1 0 0 0 1

Veja ainda que I B C = I H C I B H = I C H - 1 I B H .

Passo 2

Assim, vamos inverter I C H escalonando-a junto a identidade:

  I C H   |     I   = 7 3 0 2 1 0 0 0 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 1 ' → L 1 - 3 L 2 →  

→ 1 0 0 2 1 0 0 0 1     1 - 3 0 0 1 0 0 0 1 L 2 ' → L 2 - 2 L 1 →  

→ 1 0 0 0 1 0 0 0 1     1 - 3 0 - 2 7 0 0 0 1 =   I     I C H - 1 )

Passo 3

Multiplicando as matrizes, chegamos a:

I B C = I C H - 1 I B H =

= 1 - 3 0 - 2 7 0 0 0 1 1 1 0 1 - 7 1 1 1 1 =

= - 2 22 - 3 5 - 51 7 1 1 1

Cuja soma dos elementos da diagonal principal é: - 2 - 51 + 1 = - 52

Resposta

  1. - 52

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