Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Sejam B e C duas bases de V 3 , e u → ∈ V 3 . Se u → = - 1,1 , - 1 B e :

M B , C = 1 - 2 1 2 - 3 - 1 - 1 1 3

A matriz de mudança de base, então temos:

  1. u → = 10,6 , 1 C ;
  2. u → = - 4 , - 4 , - 1 C ;
  3. u → = - 3 ,   - 4 ,   - 1 C ;
  4. u → = - 4 ,   - 6 ,   - 1 C ;
  5. u → = 20,6 , 1 C ;

Passo 1

Faaala, pessoal! Um detalhe importante sobre notação:

  • M B C = M B → C
  • M B , C = M C → B

Considerando esse fato, para converter o vetor u → da base B para a base C , precisamos da matriz M C , B = M B , C - 1 . Assim, devemos inverter a matriz dada e, então, fazer:

u → C = M C , B u → B

Passo 2

Agora, para inverter a matriz, escalonaremos   M B , C     I   ] até reduzí-la a   I     M B , C - 1 ]     :

  M B , C     I   ] = 1 - 2 1 2 - 3 - 1 - 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 ' → L 2 - 2 L 1 ⇒ L 3 ' → L 3 + L 1

⇒ 1 - 2 1 0 1 - 3 0 - 1 4 1 0 0 - 2 1 0 1 0 1 L 3 ' → L 3 + L 2 ⇒   1 - 2 1 0 1 - 3 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 - 1 1 1 L 1 ' → L 1 - L 3 ⇒   L 2 ' → L 2 + 3 L 3

⇒ 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 2 - 1 - 1 - 5 4 3 - 1 1 1 L 1 ' → L 1 + 2 L 2 ⇒   1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 8 7 5 - 5 4 3 - 1 1 1 = I M B , C - 1 ]

Passo 3

Por fim, temos que:

u → C = M C , B u → B

= - 8 7 5 - 5 4 3 - 1 1 1 - 1 1 - 1 = 10 6 1    

Resposta

  1. u → = 10,6 , 1 C ;

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