Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Sejam

Β = { e → 1 ,   e → 2 , e → 3 } e C = { f → 1 , f → 2 , f → 3 }

Bases de V 3 e considere o vetor v → = 2 ,   - 1 ,   3 Β . Denote por M β C a matriz cujas colunas são [ f → 1 ] β , f → 2 β ,   f → 3 β .   Se

M β C = 1 - 1 1 2 - 3 1 - 1 1 - 2

Então as coordenadas de v → na base C serão:

a) 6 ,   10 ,   - 9 ;

b) ( 17 ,   10 ,   - 5 ) ;

c) 4 ,   10 ,   - 9 ;

d) 6,4 ,   - 9 ;

e) ( 15 ,   10 ,   - 5 ) ;

Passo 1

Fala aí gente, tudo beleza?

Nessa questão temos um probleminha de mudança de base. Nos foram dadas duas bases em V 3 :

Β = { e → 1 ,   e → 2 , e → 3 } C = { f → 1 , f → 2 , f → 3 }

Além disso, também foi dada a matriz M β C , que basicamente recebe um vetor escrito na base C , e o devolve escrito na base Β .

O problema é que a questão nos deu, na verdade, um vetor escrito em Β , e quer que a gente encontre esse vetor escrito na base C . O vetor no caso é:

v → = 2 ,   - 1 ,   3 Β

Sacaram a dificuldade?

Pra resolver essa questão temos que usar a matriz de transformação de bases M β C . Sabemos que, ela faz o seguinte:

v → Β = M β C ⋅ v → C

Só que, o que queremos é v → C . Então, podemos multiplicar pela inversa de M β C dos dois lados da equação, e ficamos com:

M β C - 1 ⋅ v → B = v → C

Prontinho! Nosso problema então se resume a encontrar a matriz inversa, M β C - 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Como queremos encontrar a matriz inversa de M β C , podemos usar aquele artifício de escrever M β C e a identidade 3 × 3 , lado a lado. E, ir fazendo operações com as linhas até fazer aparecer a identidade do lado esquerdo, e M β C - 1 do lado direito.

Vem comigo!

1 - 1 1 2 - 3 1 - 1 1 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Somando a 1 ° linha na 3 ° linha, temos:

1 - 1 1 2 - 3 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

Multiplicando a 3 ° linha por - 1 , temos:

1 - 1 1 2 - 3 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 - 1 0 - 1

Multiplicando a 1 ° linha por - 2 e somando-a na 2 ° linha, vem:

1 - 1 1 0 - 1 - 1 0 0 1 1 0 0 - 2 1 0 - 1 0 - 1

Multiplicando a 2 ° linha por - 1 , temos:

1 - 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 2 - 1 0 - 1 0 - 1

Subtraindo a 3 ° linha na 2 ° linha, temos:

1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 - 1 1 - 1 0 - 1

Somando a 2 ° linha na 1 ° linha, temos:

1 0 1 0 1 0 0 0 1 4 - 1 1 3 - 1 1 - 1 0 - 1

Multiplicando a 3 ° linha por - 1 e somando na 1 ° linha, vem:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 - 1 2 3 - 1 1 - 1 0 - 1

Olha aí gente!!! Do lado esquerdo temos a matriz identidade, logo do lado direito temos M β C - 1 . Ou seja:

M β C - 1 = 5 - 1 2 3 - 1 1 - 1 0 - 1  

Excelente!

Passo 3

Voltando ao que havíamos comentado no passo 1 , vimos que:

M β C - 1 ⋅ v → B = v → C

Então, pra matar nossa questão precisamos apenas fazer o produto M β C - 1 ⋅ v → B .

Como vimos:

M β C - 1 = 5 - 1 2 3 - 1 1 - 1 0 - 1

E v → Β :

v → = 2 ,   - 1 ,   3 Β

Logo:

v → C = 5 - 1 2 3 - 1 1 - 1 0 - 1 ⋅ 2 - 1 3

= 5 ⋅ 2 + - 1 - 1 + 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 + - 1 - 1 + 1 ⋅ 3 - 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ - 1 + - 1 ⋅ 3

= 17 10 - 5  

Ou sejaa:

v → = 17 ,   10 ,   - 5 C

Prontinho gente, terminamos!

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Letra b).

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