Seja uma transformação linear e e bases do tais que

e

(a) Sabendo que , determine
(b) Sabendo que , determine
Passo 1
Vamos começar entendendo o que foi dado no enunciado.
Primeiro, temos a matriz da transformação linear dada por:

que recebe vetores escritos na base e devolve a transformação desses vetores por T, mas escritos na base .
E temos também a matriz de mudança de base da base para a base :

Essa matriz recebe vetores na base e os devolve na base , mas sem aplicar a transformação T neles, pois ela só faz a mudança de base.
Beleza, agora vamos resolver os itens dessa questão.
Passo 2
(a) Se temos e queremos (coordenadas do vetor v na base vamos aplicar a matriz de mudança de bases da base para a base !
Assim:



Passo 3
(b) Agora queremos a transformação T do vetor v na base canônica e foi dada a base .
Mas lembra que o enunciado deu essa matriz aqui pra gente??

E a gente viu que ela recebia vetores na base e devolvia os vetores transformados por T, só que escritos na base .
Então se a gente aplicar essa matriz ao vetor que a gente achou no item (a), vamos obter o vetor T(v) na base e daí é só passar pra canônica!
Fazendo isso:



Agora pra passar pra base canônica, basta fazer:
E essa é a resposta!
Resposta
(a)
(b)
