Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere os vetores u 1 ,   u 2 e u 3   de R 3 cujas coordenadas na base canônica ε = i ,   j ,   k de R 3   são:

u 1 ε = 1 ,   2 ,   1 ,     u 2 ε = a ,   0 ,   1 ,     u 3 ε = 0 ,   b ,   c ,  

Onde a ,   b ,   c são números reais todos diferentes de 0 .

  1. Determine valores de a ,   b ,   c para que os vetores u 1 ,   u 2 ,   u 3 sejam linearmente dependentes e o subespaço gerado por eles seja o plano vetorial:
  2. π = v ∈ R 3 : v ε = x ,   y ,   z ,     o n d e   2 x + y - 4 z = 0

  3. Suponha agora que
  4. β = u 1 , u 2 ,   u 3

    É uma base de R 3 e que u é um vetor de R 3 cujas coordenadas na base β e canônica ε são:

    u ε = 3 ,   4 ,   3 ,     u β = 1 ,   1 ,   1

    Determine os valores de a ,   b ,   c .

  5. Seja α = v 1 ,   v 2 ,   v 3 uma base de R 3 . Considere a nova base de R 3 :
  6. δ = v 1 + v 3 ,   v 1 + v 2 ,   v 2 + v 3

    Sabendo que as coordenadas do vetor w na base α são:

    w α = 1 ,   1 ,   1

    Determine as coordenadas de w δ de w na base δ .

  7. Considere o plano ρ de equação cartesiana:

ρ = v ∈ R 3 : v ε = x ,   y ,   z ,     o n d e     x - 2 y + z = 0

E sua base:

γ = w 1 ,   w 2

Onde

w 1 ε = 1 ,   0 ,   - 1 ,     w 2 ε = 1 ,   1 ,   1  

Considere o vetor m de ρ cujas coordenadas na base canônica são

m ε = 2 ,   3 ,   4

Determina as coordenadas de m na base γ .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, na letra (a), queremos determinar os valores de a ,   b ,   c para que os vetores u 1 ,   u 2 e u 3 sejam linearmente dependentes, e além disso que o subespaço gerado por eles seja o plano:

2 x + y - 4 z = 0

Show de bola, se os vetores são linearmente dependentes, quer dizer que podemos combinar dois deles, para gerar o terceiro. Então pra testar isso, podemos montar uma matriz com esse vetores nas linhas, desse jeito:

1 2 1 a 0 1 0 b c

Entaõ se a gente escalonar essa matriz, e alguma linha for inteira formada de 0 , então nossos vetores são L.D. Bora escalonar essa matriz então:

1 2 1 a 0 1 0 b c ⇒   L 2 = L 2 - a L 1   = 1 2 1 0 - 2 a 1 - a 0 b c

E agr que tá malicia, porque se as duas ultimas linahs forem iguais, então podemos garantir que os vetores são L.D. Pra isso acontecer, temos que:

b = - 2 a

c = 1 - a

Iradoso, começou a ficar bonito, colocamos todas nossas variaveis em função de uma só, a .

Passo 2

Agora o outro detalhe importante, é que os vetores L.I, desse mesmo conjunto, geram o plano

2 x + y - 4 z = 0

E para descobrir o plano formado entre dois vetores, usamos o produto vetorial, então pegando o primeiro e o ultimo vetor, temos que:

i j k 1 2 1 0 b c

Calculando então, obtemos:

i j k 1 2 1 0 b c = 2 c - b i - 1 - a j + - 2 a k

Mas como nossos valores b e c estão em função de a , podemos trocar por:

2 1 - a - - 2 a i - 1 - a j + - 2 a k

2 i + a - 1 j + - 2 a k

Logo esse produto vetorial vai ser igual ao nosso plano;

2 i + a - 1 j + - 2 a k = 2 x + y - 4 z

Tal que:

a - 1 = 1

- 2 a = - 4

Então tiramos que a = 2 , e consequentemente:

b = - 2 a = - 2 2 = - 4

c = 1 - a = 1 - 2 = - 1

Dessa forma, os valores de a ,   b ,   c que satisfazem as condições é:

a = 2 ,     b = - 4 ,     c = - 1  

Passo 3

Agora na letra (b), suponha que

β = u 1 , u 2 ,   u 3

É uma base de R 3 e que u é um vetor de R 3 cujas coordenadas na base β e canônica ε são:

u ε = 3 ,   4 ,   3 ,     u β = 1 ,   1 ,   1

Queremos novamente encontrar os valores de a ,   b ,   c . Só que a malandragem aqui é ver que está acontecendo uma troca de bases, da canônica ε   para a β . E quando a gente faz isso, temos que o vetor u na base β é dado por:

u β = k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3

Onde os coeficientes k 1 ,   k 2 ,   k 3 serão os valores na nova base, isto é:

u β = k 1 ,   k 2 ,   k 3 = 1 ,   1 ,   1

Dessa forma, temos que nossa combinação linear com os vetores u 1 , u 2 ,   u 3 , são:

u β = k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3

u β = 1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3

u β = u 1 + u 2 + u 3

Substituindo então os valores de u 1 , u 2 ,   u 3 , temos;

u β = 1 ,   2 ,   1 + a ,   0 ,   1 + 0 ,   b ,   c

1 ,   1 ,   1 = 1 ,   2 ,   1 + a ,   0 ,   1 + 0 ,   b ,   c

Então podemos montar um sistema com esses vetores, desse jeito;

1 = 1 + a + 0 1 = 2 + 0 + b 1 = 1 + 1 + c

1 = 1 + a 1 = 2 + b 1 = 2 + c

Logo:

a = 0 ,     b = - 1 ,     c = - 1

Passo 4

E na letra (c), queremos encontrar as coordenadas de w δ onde:

δ = v 1 + v 3 ,   v 1 + v 2 ,   v 2 + v 3

E w α = 1 ,   1 ,   1 , onde:

α = v 1 ,   v 2 ,   v 3

Show de bola, então quer dizer que:

w α = 1 v 1 + 1 v 2 + 1 v 3

w α = v 1 + v 2 + v 3

E da mesma maneiro, para w δ , temos que;

w δ = k 1 v 1 + v 3 + k 2 v 1 + v 2 + k 3 v 2 + v 3

Colocando os vetores em evidência, chegamos em:

w δ = v 1 k 1 + k 2 + k 2 + k 3 v 2 + k 1 + k 3 v 3

Só que a malandragem agora é que temos o vetor escrito na mesma base α = v 1 ,   v 2 ,   v 3 , e É O MESMO VETOR w , ou seja:

w α = v 1 k 1 + k 2 + k 2 + k 3 v 2 + k 1 + k 3 v 3

1 ,   1 ,   1 = v 1 k 1 + k 2 + k 2 + k 3 v 2 + k 1 + k 3 v 3

Então podemos montar o sistema:

1 = k 1 + k 2 1 = k 2 + k 3 1 = k 1 + k 3

Fazendo a primeira linha menos a segunda, temos que:

1 = k 1 + k 2 1 = k 2 + k 3 1 = k 1 + k 3 ⇒ L 1 = L 1 - L 2     = 1 = k 1 - k 3 1 = k 2 + k 3 1 = k 1 + k 3

E agora somando a primeira linha com a terceira, chegamos em:

1 = k 1 - k 3 1 = k 2 + k 3 1 = k 1 + k 3 ⇒ L 1 = L 1 + L 3     = 2 = 2 k 1 1 = k 2 + k 3 1 = k 1 + k 3

Logo:

k 1 = 1

E substituindo esse resultado na terceira linha:

1 = k 1 + k 3

1 = 1 + k 3

k 3 = 0

E consequentemente, k 2 = 1 , portanto o vetor w escrito na base δ é:

w δ = k 1 ,   k 2 ,   k 3

w δ = 1 ,   1 ,   0

Passo 5

Belezoca galera, agora na letra (d), queremos encontrar as coordenadas de m na base γ , onde:

γ = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   1

Sabendo que m na base canônica é dado por:

m ε = 2 ,   3 ,   4

Só que o problema aqui é que nossa base γ possui apenas 2 vetores na base. E pra gente poder escrever um vetor em R 3 vamos precisar de 3 vetores. Isso quer dizer que precisamos encontrar esse terceiro vetor. E pra isso a gente pode usar os coeficientes do plano;

x - 2 y + z = 0

Esses coeficientes representam o vetor normal do plano, e esse vetor é independente dos vetores da base, tal que:

w 3 ε = 1 ,   - 2 ,   1

Portanto, para trocar m de base, fazemos:

2 ,   3 ,   4 = k 1 1 ,   0 ,   - 1 + k 2 1 ,   1 ,   1 + k 3 1 ,   - 2 ,   1

Montando um sistema, temos;

2 = k 1 + k 2 + k 3 3 = 0 + k 2 - 2 k 3 4 = - k 1 + k 2 + k 3

Logo, a representação matricial desse sistema é:

1 1 1 0 1 - 2 - 1 1 1 2 3 4

Então escalonado ela para obter o resultado, temos:

1 1 1 0 1 - 2 - 1 1 1 2 3 4 ⇒     L 3 = L 3 + L 1 = 1 1 1 0 1 - 2 0 2 2 2 3 6

1 1 1 0 1 - 2 0 2 2 2 3 6 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = 1 1 1 0 1 - 2 0 3 0 2 3 9

Logo da segunda linha temos que;

3 k 2 = 9

k 2 = 3

E substituindo na segunda linha:

k 2 - 2 k 3 = 3

3 - 2 k 3 = 3

k 3 = 0

E por fim na primeira linha, ficamos assim:

k 1 + k 2 + k 3 = 2

k 1 + 3 + 0 = 2

k 1 = - 1

Portanto:

m γ = k 1 ,   k 2 ,   k 3

m γ = - 1 ,   3 ,   0

Resposta

  1. a = 2 ,     b = - 4 ,     c = - 1  
  2. a = 0 ,     b = - 1 ,     c = - 1
  3. w δ = 1 ,   1 ,   0
  4. m γ = - 1 ,   3 ,   0

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