Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere a base γ = 1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 - 1 1 0 ,   0 0 0 - 1 e a matriz de mudança de base

I γ α = 1 2 1 1 2 - 1 2 0 - 1 1 0 0 0 1 1 1

a) Determine as matrizes de base α .

b) Se V α = 3 - 1 1 2 , determine V γ .

Passo 1

a) Seja α = { u 1 ,   u 2 ,   u 3 ,   u 4 } . Vamos encontrar os elementos de α multiplicando os elementos de γ pelos coeficientes das colunas da matriz I γ α :

u 1 = 1 1 0 0 0 + 2 0 1 0 0 - 1   0 - 1 1 0 + 0 0 0 0 - 1 = 1 3 - 1 0

u 2 = 2 1 0 0 0 - 1 0 1 0 0 + 1   0 - 1 1 0 + 1 0 0 0 - 1 = 2 - 2 1 - 1

u 3 = 1 1 0 0 0 + 2 0 1 0 0 + 0   0 - 1 1 0 + 1 0 0 0 - 1 = 1 2 0 - 1

u 4 = 1 1 0 0 0 + 0 0 1 0 0 + 0   0 - 1 1 0 + 1 0 0 0 - 1 = 1 0 0 - 1

Logo, a base α será

α = 1 3 - 1 0 ,   2 - 2 1 - 1 ,   1 2 0 - 1 , 1 0 0 - 1

Passo 2

b) Sabemos que V γ = I γ α V α , então

V γ = 1 2 1 1 2 - 1 2 0 - 1 1 0 0 0 1 1 1 3 - 1 1 2

Multiplicando as matrizes, vamos ter que

V γ = 4 9 - 4 2

Resposta

a) α = 1 3 - 1 0 ,   2 - 2 1 - 1 ,   1 2 0 - 1 , 1 0 0 - 1

b) V γ = 4 9 - 4 2

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