Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Em P 2 considere a base β = 1 + x , x 2 , 1 - x e seja

I β α = - 1 1 0 0 - 1 1 2 1 2

a Encontre p x tal que p x α = 3 4 0

b Encontre a base α de P 2 .

Passo 1

a Ele nos deu a matriz que transforma muda a base de um polinômio da α para a β . Se multiplicarmos nosso p x α por essa matriz, teremos então:

I β α ∙ p x α = p x β = - 1 1 0 0 - 1 1 2 1 2 3 4 0 = 1 - 4 10

Agora que temos p x β , basta multiplicarmos o vetor pelos polinômios da base β para obtermos p x :

p x β = 1 , - 4,10

p x = 1 1 + x - 4 x 2 + 10 1 - x

p x = 1 + x - 4 x 2 + 10 - 10 x

p x = - 4 x 2 - 9 x + 11

Pronto! Achamos p x !

Passo 2

b Agora pensa comigo! A matriz mudança de base que vai de α para a base β , que nos foi dada, tem as colunas formadas pelos vetores de α escritos na base β !! Então:

α = u 1 , u 2 , u 3

u 1 β = - 1,0 , 2 ⇒ u 1 = - 1 1 + x + 0 x 2 + 2 1 - x

u 1 = - 1 - x + 2 - 2 x = - 3 x + 1

u 2 β = 1 , - 1,1 ⇒ u 2 = 1 1 + x - 1 x 2 + 1 1 - x

u 2 = 1 + x - x 2 + 1 - x = - x 2 + 2

u 3 β = 0,1 , 2 ⇒ u 3 = 0 1 + x + 1 x 2 + 2 1 - x

u 3 = x 2 - 2 x + 2

Temos então que:

α = - 3 x + 1 , - x 2 + 2 , x 2 - 2 x + 2

Resposta

a p x = - 4 x 2 - 9 x + 11

b α = - 3 x + 1 , - x 2 + 2 , x 2 - 2 x + 2

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