Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere as bases do R 2

γ = - 1,1 , - 1,0

σ = 0,1 , - 1 , - 1

E a transformação linear T : R 2 → R 2 cuja matriz na base γ é:

T γ = 3 - 2 1 - 1

(a) Determine explicitamente as matrizes de mudança de base da base γ   para a base σ e da base σ para a base γ .

(b) Determine explicitamente a matriz T σ da transformação linear T na base σ .

Passo 1

(a) Para escrever a matriz de mudança de base da base γ para a base σ , que vamos denotar por I d σ ← γ , escrevemos os vetores da base do domínio ( γ ) nas coordenadas da base do contradomínio ( σ ) e colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz.

Temos:

- 1,1 = 2 0,1 + 1 - 1 , - 1

- 1,0 = 1 0,1 + 1 - 1 , - 1

Logo:

I d σ ← γ = 2 1 1 1

Para obter a matriz de mudança de base da base σ para a base γ , o processo é análogo: escrevemos os vetores da base do domínio ( σ ) nas coordenadas da base do contradomínio ( γ ) e colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz.

Temos:

0,1 = 1 - 1,1 - 1 - 1,0

- 1 , - 1 = - 1 - 1,1 + 2 - 1,0

Então:

I d γ ← σ = 1 - 1 - 1 2

Passo 2

(b) Para achar T σ , usamos a expressão:

T σ = I d σ ← γ T γ I d γ ← σ

T σ = 2 1 1 1 3 - 2 1 - 1 1 - 1 - 1 2

T σ = 12 - 17 7 - 10

Resposta

(a) I d σ ← γ = 2 1 1 1

I d γ ← σ = 1 - 1 - 1 2

(b) T σ = 12 - 17 7 - 10

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