Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Considere a transformação linear T : R 2 ⟶ R 2 definida pela figura abaixo:

( a ) Determine uma expressão para a imagem T ( x , y ) de um vetor x , y ∈ R 2

( b ) Determine T β ← γ onde β = 1,0 , 0,1 e γ = 1,1 , 1 , - 1

( c ) Determine as matrizes de mudança de base de β para γ e de γ para β .

Passo 1

Letra ( a )

O que este item pede é a expressão analítica de T , a sua fórmula. Pelas imagens vemos que o vértice do quadrado ( 1,1 ) vira ( 2,1 ) . E o vértice de baixo, ( 1,0 ) , vira o vetor ( 1,0 ) , ou seja, permanece igual. Assim podemos resumir em:

T 1,1 = 2,1

T 1,0 = ( 1,0 )

E assim, basta seguir o passo a passo de sempre.

Passo 2

Fazendo:

x , y = a 1,1 + b 1,0 ⇒

T x , y = T a 1,1 + b 1,0

Como T é linear:

T x , y = a T 1,1 + b T 1,0 ⇒

T x , y = a 2,1 + b ( 1,0 )

Passo 3

Agora vamos achar valores para a ,   b :

x , y = a 1,1 + b 1,0 ⇒

x = a + b ⇒ x = y + b ⇒ b = x - y y = a

Substituindo:

T x , y = y 2,1 + ( x - y ) 1,0 ⇒

T x , y = ( x + y , y )

Passo 4

Letra ( b )

Para começar construir a matriz T β ← γ , temos que aplicar T nos vetores da base γ :

T 1,1 = 2,1

T 1 , - 1 = ( 0 , - 1 )

Passo 5

Agora vamos reescrever os vetores acima, nas coordenadas da base β . Como β é a base canônica, suas coordenadas na base β , serão as próprias coordenadas do vetor. Assim:

T 1,1 β = 2 1  

T 1 , - 1 β = 0 - 1

E, portanto, nossa matriz fica:

T β ← γ = 2 0 1 - 1

Passo 6

Letra ( c )

Pera mas o que é uma matriz de mudança de base mesmo?

A matriz de mudança de base I d α ⟵ β é simplesmente uma matriz que pega um vetor escrito nas coordenadas de uma base β e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de uma base α .

E lembre-se também desse teorema!

Agora, ficará mais fácil de resolver esta letra.

Passo 7

Vamos montar primeiro I d β ← γ .

Como a transformação identidade transforma no próprio vetor, então ao aplicarmos nos vetores da base γ , dará os próprios vetores da base γ .

Assim, só temos que reescrevê-los na base β . A escolha de fazer primeiro de γ para β é mais fácil, pois não vamos fazer conta alguma, já que quando formos reescrever na base β (que é a canônica), não precisaremos calcular nada! Assim:

I d 1,1 = 1,1

I d 1 , - 1 = 1 , - 1

Passo 8

E escrevendo nas coordenadas da base β :

1,1 β = 1 1

1 , - 1 β = 1 - 1

E, assim:

I d β ← γ = 1 1 1 - 1

Passo 9

Agora é só inverter a matriz, pois, de acordo com o teorema láa em cima, I d β ← γ = I d γ ← β - 1 e então I d β ← γ - 1 = I d γ ← β

1 1 1 - 1 1 0 0 1

2 0 1 - 1 1 1 0 1 L 1 ← L 1 + L 2

2 0 0 - 2 1 1 - 1 1 L 2 ← 2 L 2 - L 1

2 0 0 1 1 1 1 2 - 1 2 L 2 ← L 2 - 2

1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 - 1 2 L 1 ← L 1 2

E assim:

I d γ ← β = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Resposta

a   T x , y = ( x + y , y )

b T β ← γ = 2 0 1 - 1

c I d β ← γ = 1 1 1 - 1 ; I d γ ← β = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

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