Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

( b ) Seja Q uma matriz inversível e A ' = Q - 1 A Q . Mostre que a transformação linear S definida por S B = Q - 1 B Q é uma bijeção de C ( A ) para C ( A ' ) .

(Dica: Verifique o contra-dominio de S e exiba a transformação inversa S - 1 .)

Passo 1

Letra ( b )

Vamos primeiro entender o enunciado. O que significa dizer que S B = Q - 1 B Q é uma bijeção de C ( A ) para C ( A ' ) ???

Significa dizer que ela pega um carinha de C ( A ) e aplica S nele, e após isso ele pertence a C ( A ' ) . E aonde entra a bijeção nessa história toda? Bom, ela quer dizer que a volta também é verdade, ou seja, se pegarmos um carinha de C ( A ' ) e aplicarmos S - 1 , então esse novo carinha pertence a C ( A ) . Vamos enunciar as coisas pra ficar melhor de trabalharmos:

Se B ∈ C ( A ) , então S B ∈ C ( A ' )

Se B ∈ C ( A ' ) , então S - 1 B ∈ C ( A )

Agora que entendemos tudo vamos a pratica!

Passo 2

Vamos fazer a primeira proposição:

Se B ∈ C ( A ) , então S B ∈ C ( A ' )

Assim, vamos testar se:

I   A ' S B = S B A ' ( I I )

( I ) :

A ' S B = Q - 1 A Q Q - 1 B Q = Q - 1 A Q Q - 1 B Q ⇒

A ' S B = Q - 1 A B Q

I I :

S B A ' = Q - 1 B Q Q - 1 A Q = Q - 1 B Q Q - 1 A Q = Q - 1 B A Q

Mas como B ∈ C ( A ) , B pode comutar com A :

S B A ' = Q - 1 A B Q

Como Achamos que:

A ' S B = S B A '

Passo 3

Relaxa ainda não porque ainda temos que provar a volta!

Se B ∈ C ( A ' ) , então S - 1 B ∈ C ( A )

Se olharmos para nossa S podemos perceber que ela pega uma matriz 2 × 2 e transformar em uma 2 × 2 de novo, então:

S : M 2 × 2 R ⟶ M 2 × 2 R

Assim, é possível que ela tenha uma inversa.

Agora vamos verificar se ela é bijetiva e primeiramente se é injetiva:

S B = Q - 1 B Q = 0

Bom como sabemos que Q não é nula, o único jeito de zerarmos é com B = 0 , portanto sim ela é injetiva.

Agora, pela teorema do núcleo imagem:

dim ⁡ N u c S + dim ⁡ I m S = dim ⁡ D o m S

Como ela’e injetiva, dim ⁡ N u c S = 0 , e como dim ⁡ D o m S = d i m ⁡ ( C D O m S ) , já que D o m S = C D o m S = M 2 × 2 R , então dim ⁡ I m S = d i m ⁡ ( C D O m S ) e portanto é subjetiva. Então, se ela é injetiva e sobrejetiva é bijetiva.

Passo 4

Tá blz, mas quem seria essa S - 1 ??

Vamos pensar, o que a S faz é na verdade escrever uma matriz C como semelhante de uma B , assim:

S B = C = Q - 1 B Q

Então a inversa seria a que faz o contrário, a que nos dá a matriz B :

B = Q C Q - 1

Então:

S - 1 C = Q C Q - 1

Agora, apenas por uma questão de conveniência vou utilizar a matriz B no resto do exercício no lugar da C , mas não teria problema algum se quisesse trocar tudo pra C (Lembre-se que é apenas uma letra, o importante é que seja uma matriz XD)

Passo 5

-

Se B ∈ C ( A ' ) , então S - 1 B ∈ C ( A )

I   A S - 1 B = S - 1 B A   ( I I )

( I ) :

Mas pera, quem é a A nesse caso? Bom é só isolarmos assim como fizemos com S - 1 ( B ) .

A ' = Q - 1 A Q ⇒

A = Q A ' Q - 1

Continuando...

A S - 1 B = Q A ' Q - 1 Q B Q - 1 = Q A ' Q - 1 Q B Q - 1 ⇒

A S - 1 B = Q A ' B Q - 1

( I I ) :

S - 1 B A = Q B Q - 1 Q A ' Q - 1 = Q B Q - 1 Q A ' Q - 1 = Q B A ' Q - 1

Mas como B ∈ C ( A ' ) , então comuta com A ' :

S - 1 B A =   Q A ' B Q - 1

Como achamos que:

A S - 1 B = S - 1 B A

E finalmente provamos a questão :D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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