Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja β = 1 + x , x , x 2 + x uma base para P 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ; ∀ a i ∈ R , i = 0,1 , 2 . E seja α outra base para o espaço vetorial P 2 tal que I β α = 1 0 1 0 2 1 2 0 - 1 .

a Determine o vetor v tal que v α = 2 1 0 .

b Encontre a base α .

c Calcule a matriz I α β .

Passo 1

a Bom, nós temos v α , mas não conhecemos α , então não serve muito pra gente. Mas nós conhecemos β e temos uma matriz que muda os vetores da base α para a β ! Então vamos usá-la:

v β = I β α ∙ v α = 1 0 1 0 2 1 2 0 - 1 2 1 0 = 2 2 4

Agora que temos v β , basta multiplicarmos as coordenadas do vetor pelos polinômios da base β para obtermos v :

v = 2 ∙ 1 + x + 2 ∙ x + 4 ∙ x 2 + x = 2 + 2 x + 2 x + 4 x 2 + 4 x

v = 2 + 8 x + 4 x 2

Passo 2

b A matriz I β α tem como colunas os vetores de α escritos na base β ! Logo:

α = v 1 , v 2 , v 3

I β α = ↑ ↑ ↑ v 1 β v 2 β v 3 β ↓ ↓ ↓

v 1 β = 1,0 , 2

v 1 = 1 ∙ 1 + x + 0 ∙ x + 2 ∙ x 2 + x = 1 + x + 2 x 2 + 2 x

v 1 = 1 + 3 x + 2 x 2

v 2 β = 0,2 , 0

v 2 = 0 ∙ 1 + x + 2 ∙ x + 0 ∙ x 2 + x = 2 x

v 2 = 2 x

v 3 β = 1,1 , - 1

v 3 = 1 ∙ 1 + x + 1 ∙ x - 1 ∙ x 2 + x = 1 + x + x - x 2 - x

v 3 = 1 + x - x 2

Então,

α = 1 + 3 x + 2 x 2 , 2 x , 1 + x - x 2

Passo 3

c Essa a gente pode resolver de dois jeitos, podemos inverter I β α ou podemos escrever os vetores de β como função da base α . Essa última forma vai dar muito trabalho nesse exercício, então vamos pela inversa mesmo:

1 0 1 0 2 1 2 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 0 1 0 2 1 0 0 - 3 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1 → L 2 ← l 2 2 1 0 1 0 1 1 2 0 0 - 3 1 0 0 0 1 2 0 - 2 0 1 → L 3 ← - L 3 3 1 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 2 3 0 - 1 3 → L 2 ← L 2 - L 3 2 L 1 ← L 1 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0 1 3 - 1 3 1 2 1 6 2 3 0 - 1 3

Logo,

  I α β = 1 3 0 1 3 - 1 3 1 2 1 6 2 3 0 - 1 3

Resposta

a v = 2 + 8 x + 4 x 2

b α = 1 + 3 x + 2 x 2 , 2 x , 1 + x - x 2

c I α β = 1 3 0 1 3 - 1 3 1 2 1 6 2 3 0 - 1 3

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