Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja α = 1 , 0,1 , 0,1 , 1 , - 1,0 , 0 e β = v 1 , v 2 , v 3 bases do espaço vetorial R 3 . Seja I β α = 2 1 0 3 1 1 0 3 2

a Determine para o vetor v = 1 , 2,3 suas coordenadas em β : v β

b Para δ = 0 , - 1,0 , 1,0 , 0 , 0,0 , 1 calcule a matriz I γ α

Passo 1

a Já temos a matriz mudança de base de α para β e a base α . Então, para encontrarmos v β , basta fazermos I β α ∙ v α ! Vamos encontrar v α :

1,2 , 3 = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 1 + c - 1,0 , 0 ⇒ a - c = 1 b = 2 a + b = 3       I I I I I I

I I → I I I :

a = 1       I V

I V → I :

c = 0

Logo,

v α = 1,2 , 0

Agora é só jogarmos na equação:

v β = I β α ∙ v α = 2 1 0 3 1 1 0 3 2 1 2 0 = 4 5 6

Passo 2

b A matriz I δ α tem como colunas os vetores de α escritos na base δ . Então vamos achá-los:

1,0 , 1 δ = 0,1 , 1

0,1 , 1 δ = - 1,0 , 1

- 1,0 , 0 δ = 0 , - 1,0

Agora jogamos esses vetores na coluna de uma matriz:

I δ α = 0 - 1 0 1 0 - 1 1 1 0

Resposta

a v β = 4,5 , 6

b I δ α = 0 - 1 0 1 0 - 1 1 1 0

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