Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja V = P 2 o espaço vetorial dos polinômios de grau até 2 , e sejam os subespaços W 1 = 1 + x , 1 - x , W 2 = x 2 .

a Qual as dimensões de V , W 1 e W 2 ? Justifique!

b Defina W 1 ∩ W 2 , W 1 ∪ W 2 e W 1 + W 2 , determine quais são subespaços de V e obtenha bases para esses subespaços.

c Justifique porque W 1 + W 2 = V , e ache a matriz de mudança de base entre α , a base canônica de V , e β , a base obtida acima (item b ).

d Se v → β = 1 1 1 , ache v → α .

Passo 1

a P 2 tem elementos do tipo v → = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , com 3 variáveis livres! Além disso, sabemos que uma base para P 2 é 1 , x , x 2 , que possui 3 elementos. Logo, dim ⁡ V = 3 .

Os vetores geradores de W 1 são L I já que não são múltiplos, logo, dim ⁡ W 1 = 2 . É importante ressaltar que eles serem L I quando não são múltiplos só vale quando temos um conjunto de 2 vetores, como é o caso aqui.

Já o conjunto gerador de W 1 contém apenas um único vetor não nulo, logo dim ⁡ W 2 = 1 .

Passo 2

b

W 1 ∩ W 1 = v → ∈ V v → ∈ W 1   e   v → ∈ W 2

W 1 ∪ W 2 = v → ∈ V v → ∈ W 1   o u   v → ∈ W 2

W 1 + W 2 = v → ∈ V v → = w → 1 + w → 2 , w → 1 ∈ W 1   e   w → 2 ∈ W 2

Passo 3

A interseção e a soma de subespaços de um mesmo espaço vetorial serão sempre subespaços! Já a união de subespaços será apenas um subespaço, se um desses subespaços que estamos unindo estiver contido no outro. Confuso né? Vou falar de outro modo, W 1 ∪ W 2 só será subespaço de V se W 1 ⊂ W 2 ou W 2 ⊂ W 1 ! Como W 1 contêm apenas termos de primeiro grau e constantes enquanto W 2 contém apenas termos de segundo grau, claramente W 1 ⊄ W 2 e W 2 ⊄ W 1 , Logo, a união não é um subespaço.

Passo 4

Agora as bases! Temos que W 1 ∩ W 2 = 0 → . Pensa comigo, nenhum polinômio a x 2 pode ser formado por combinações de polinômios de primeiro grau! Logo, não existe interseção entre eles, então a base de W 1 ∩ W 2 é o conjunto vazio.

Como W 1 ∩ W 2 = 0 → , temos que a soma W 1 + W 2 será direta! Logo, uma base para W 1 + W 2 é a união das bases de W 1 e W 2 :

β W 1 + W 2 = 1 + x , 1 - x , x 2

Passo 5

c Temos que

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 ⏟ 2 + dim ⁡ W 2 ⏟ 1 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2 ⏟ 0

dim ⁡ W 1 + W 2 = 3

Também sabemos que W 1 + W 2 é subespaço de V , pela letra b e que dim ⁡ V = 3 . Bom que subespaço de V tem a mesma dimensão de V ? Ele mesmo né!

A matriz mudança de base I β α tem como colunas os vetores de α na base β . Logo:

1 = 1 2 1 + x + 1 2 1 - x + 0 x 2

1 β = 1 2 , 1 2 , 0

x = 1 2 1 + x - 1 2 1 - x + 0 x 2

x β = 1 2 , - 1 2 , 0

x 2 = 0 1 + x + 0 1 - x + 1 x 2

x 2 β = 0,0 , 1

Então,

I β α = 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 0 0 0 1

Passo 6

d Queremos achar v → α . Como temos v → β e temos a base β , podemos encontrar v → :

v → = 1 1 + x + 1 1 - x + 1 x 2 = 2 + x 2

E passando para a base α :

v → α = 2,0 , 1

Resposta

a

dim ⁡ V = 3

dim ⁡ W 1 = 2

dim ⁡ W 2 = 1

b W 1 ∩ W 1 = v → ∈ V v → ∈ W 1   e   v → ∈ W 2

W 1 ∪ W 2 = v → ∈ V v → ∈ W 1   o u   v → ∈ W 2

W 1 + W 2 = v → ∈ V v → = w → 1 + w → 2 , w → 1 ∈ W 1   e   w → 2 ∈ W 2

W 1 ∩ W 1 e W 1 + W 2 são subespaços de V .

β W 1 ∩ W 1 =  

β W 1 + W 2 = 1 + x , 1 - x , x 2

c I β α = 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 0 0 0 1

d v → α = 2,0 , 1

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