Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

Ver Teoria

Enunciado

Seja W = a b 0 c ;   ∀ a , b , c ∈ R subespaço de M 2 × 2 R .   Seja β uma base de   W :   β = 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 . Encontre a base α de W   tal que I β α = 1 2 0 0 1 - 1 2 0 1 .

Passo 1

Na matriz de mudança de base, as colunas são formadas pelos vetores da base do domínio ( α ) , na base do contradomínio, β .

Ou seja, sendo α = { v 1 , v 2 , v 3 } :

v 1 β = 1 0 2

v 2 β = 2 1 0

v 3 β = 0 - 1 1

Passo 2

Como as coordenadas são os coeficientes da combinação linear da base β que gera v 1 na base α ,   posso encontrar facinho { v 1 , v 2 , v 3 } :

v 1 β = 1 0 2 ⟹ v 1 = 1 1 0 0 0 + 0 1 1 0 0 + 2 1 1 0 1 = 3 2 0 2

v 2 β = 2 1 0 ⟹ v 2 = 2 1 0 0 0 + 1 1 1 0 0 + 0 1 1 0 1 = 3 1 0 0

v 3 β = 0 - 1 1 ⟹ v 3 = 0 1 0 0 0 - 1 1 1 0 0 + 1 1 1 0 1 = 0 0 0 1

Assim, nossa base do domínio vai ser:

3 2 0 2 , 3 1 0 0 , 0 0 0 1

Resposta

α = 3 2 0 2 , 3 1 0 0 , 0 0 0 1

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +
Sejam A, B, C, D matrizes de ordem n, sendo A e B semelhantes, C e D semelhantes. É verdade que A + C e B + D são semelhantes? E quanto a AC e BD?
Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 de M 22 . A = 2 0 - 1 3 , A 1 = - 1 1 0 0 , A 2 = 1 1 0 0 , A 3 = 0 0 1 0 eA 4 = 0 0 0 1
Considere as bases B = u 1 ,u 2 e B ' = u 1 ' ,u 2 ' de R 2 , em que u 1 = 1 0 ,u 2 = 0 1 ,u 1 ' = 2 1 ,u 2 ' = - 3 4 a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .b) Encontre a matriz de transição