Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja P 1 o espaço euclidiano dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ

I γ ← β = 1 - 2 1 - 1

então a base γ é:

a   γ = - 4 x , 6 x - 2

b   γ = - 4 x - 6 , - 2

c   γ = { 2 x - 2 ,   2 x + 2 }

d   γ = { 8 ,   8 x }

Passo 1

Sabendo como se monta a matriz de mudança de base, podemos descobrir quem é a base γ . Digamos que a base γ seja assim:

γ = { p 1 x ,   p 2 x }

Até agora podemos afirmar que

I 2 x - 2 γ = 1 1 ⇒

I 2 x - 2 = p 1 x + p 2 ( x )

E que

I 2 x + 2 γ = - 2 - 1 ⇒

I 2 x + 2 = - 2 p 1 x - p 2 ( x )

Passo 2

Mas e agora, como vamos achar quem são p 1 ( x ) e p 2 ( x ) ??? Como se trata da transformação identidade podemos afirmar que:

I 2 x - 2 = p 1 x + p 2 x = 2 x - 2

I 2 x + 2 = - 2 p 1 x - p 2 x = 2 x + 2

E com isso temos um sistema linear de duas equações e duas variáveis:

p 1 x + p 2 x = 2 x - 2 - 2 p 1 x - p 2 x = 2 x + 2       1 2

De 1 temos que:

p 1 x = 2 x - 2 - p 2 x

Substituindo em 2 :

- 2 2 x - 2 - p 2 x - p 2 x = 2 x + 2

- 4 x + 4 + 2 p 2 x - p 2 x = 2 x + 2

p 2 x = 6 x - 2

Com isso, podemos encontrar p 1 x :

p 1 x = 2 x - 2 - 6 x - 2

p 1 x = - 4 x

Assim, nossa base fica:

γ = { - 4 x ,   6 x - 2 }

Resposta

Letra a

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