Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja P 1 o espaço dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ é I γ ← β = 2 - 3 1 - 1 , então a base γ é:

a   γ = 8,8 x

b   γ = - 4 x - 10 , - 2

c   γ = - 4 x , 10 x - 2

d   γ = 2 x - 2,2 x + 2

Passo 1

Para encontrarmos a matriz mudança de base que vai de β para γ é só escrevermos os vetores de β em função dos vetores de γ e jogarmos nas colunas da matriz.

Sabemos que γ tem que ter dois vetores já que ela também é uma base de P 1 .

γ = v 1 , v 2

E também sabemos que:

2 x - 2 = 2 v 1 + v 2

2 x + 2 = - 3 v 1 - v 2

Somando as equações:

4 x = - v 1 ⇒ v 1 = - 4 x

Só com isso já sabemos que é a c mas só por desencargo de consciência vamos achar v 2 também haha:

2 x - 2 = 2 v 1 ⏞ - 8 x + v 2 ⇒ v 2 = 2 x - 2 + 8 x = 10 x - 2

Certinho então, γ = - 4 x , 10 x - 2

Resposta

Letra ( c )

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