Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear e α , β e γ bases do R 2 tais que

e

(a) Sabendo que v β = - 1 3 , determine v γ .

(b) Sabendo que α = { 1,2 , 0 , - 1 } , determine T v .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi dado no enunciado.

Primeiro, temos a matriz da transformação linear T : R 2 → R 2 dada por:

que recebe vetores escritos na base γ e devolve a transformação desses vetores por T, mas escritos na base α .

E temos também a matriz de mudança de base da base β para a base γ :

Essa matriz recebe vetores na base β e os devolve na base γ , mas sem aplicar a transformação T neles, pois ela só faz a mudança de base.

Beleza, agora vamos resolver os itens dessa questão.

Passo 2

(a) Se temos v β = - 1 3 e queremos v γ (coordenadas do vetor v na base γ )   vamos aplicar a matriz de mudança de bases da base β para a base γ !

Assim:

Passo 3

(b) Agora queremos a transformação T do vetor v na base canônica e foi dada a base α .

Mas lembra que o enunciado deu essa matriz aqui pra gente??

E a gente viu que ela recebia vetores na base γ e devolvia os vetores transformados por T, só que escritos na base α .

Então se a gente aplicar essa matriz ao vetor que a gente achou no item (a), vamos obter o vetor T(v) na base α e daí é só passar pra canônica!

Fazendo isso:

Agora pra passar pra base canônica, basta fazer:

T v = 5 1,2 + 9 0 , - 1 = 5,1

E essa é a resposta!

Resposta

(a) v γ = 2 1

(b) T v = ( 5,1 )

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