Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Seja T : P 1 → P 1 uma transformação linear. E sejam α = 1 + x , 1 - x e β = 2 , - x bases do P 1 . Considere T β α = 1 2 2 2

b Sendo a transformação inversa T - 1 : P 1 → P 1 , determine T - 1 α β .

Passo 1

b Vamos ver o que acontece se tirarmos a inversa da matriz que ele nos dá no enunciado. Seja ϵ a base canônica, temos que:

T β α = I β ϵ ∙ T ϵ ϵ ∙ I ϵ α

Tirando a inversa:

T β α - 1 = I β ϵ ∙ T ϵ ϵ ∙ I ϵ α - 1

T β α - 1 = I ϵ α - 1 T ϵ ϵ - 1 I β ϵ - 1

T β α - 1 = I α ϵ ∙ T ϵ ϵ - 1 ∙ I ϵ β

T β α - 1 = T - 1 α β

Olha só que conveniente haha. Ele ta pedindo exatamente a inversa da matriz que ele dá pra gente! E a inversa de matrizes 2 × 2 é mole de calcular:

T - 1 α β = T β α - 1 = 1 det ⁡ T β α 2 - 2 - 2 1 = - 1 1 1 - 1 2

Resposta

b   T - 1 α β = - 1 1 1 - 1 2

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