Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Sejam u = ( 1 , - 1 ) , v = ( 1,2 ) e γ = { u , v } . Considere T   : R 2 → R ² uma transformação linear tal que

T γ = 1 2 - 1 3

  1. Seja w = - 3 u + 2 v . Determine:

a.1) [ T w ] γ

a.2) T ( w )

b) Determine T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) .

c) Determine [ T ] ε , onde ε é a base canônica de R ² .

Passo 1

a.1)

Ele já nos deu a TL na base γ e as coordenadas do vetor w nesta mesma base. Então no primeiro item é só efetuar o produto:

[ T w ] γ = T γ w γ = 1 2 - 1 3 - 3 2 = 1 9

Passo 2

a.2)

Agora a questão também nos pede o mesmo vetor, mas agora na base canônica.

Para fazer a mudança ε ← γ , precisamos botar os vetores da base γ em colunas:

T w = 1 1 - 1 2   1 9 = 10 17

Passo 3

bc)

Bom, temos a transformação na base γ , para termos na base ε basta aplicar uma mudança de base antes e uma depois, da seguinte forma:

T ε =   ε ← γ . T γ ( γ ← ε )

A matriz que faz γ ← ε será a inversa da que faz   ε ← γ . Faz sentido né? A inversa é justamente a que desfaz.

Passo 4

Com matrizes teremos:

T ε = 1 1 - 1 2 1 2 - 1 3 1 1 - 1 2 - 1

T ε = 1 1 - 1 2 1 2 - 1 3 2 / 3 - 1 / 3 1 / 3 1 / 3  

T ε = 5 / 3 5 / 3 - 2 / 3 7 / 3

Passo 5

Então:

T 1,0 = 5 / 3 5 / 3 - 2 / 3 7 / 3 1 0 = 5 / 3 - 2 / 3

T 0,1 = 5 / 3 5 / 3 - 2 / 3 7 / 3 0 1 = 5 / 3 7 / 3

Resposta

a.1)   1 9

a.2) 10 17

b)   T 1,0 = 5 / 3 - 2 / 3 T 0,1 = 5 / 3 7 / 3

c)     T ε = 5 / 3 5 / 3 - 2 / 3 7 / 3

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