Exercícios Resolvidos de Matriz de Mudança de Base

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Enunciado

Sejam α ,   β ,   γ bases do espaço vetorial V , e sejam

A = I α ← β ,   B = I γ ← β ,   C = I γ ← α

matrizes de mudança de base. Então:

a   B - 1 C = A

b   B C - 1 = A - 1

c   B C - 1 = A

d   B - 1 C = A - 1

Passo 1

A única coisa que sabemos, que pode nos ajudar, é que a inversa de uma matriz de mudança de base muda a “ordem” das bases. Sendo assim, vamos analisar as bases e os produtos para ver qual equação está correta.

a

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α ⇒

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α ≠ A

Passo 2

b

B = I γ ← β ,     C - 1 = I α ← γ

B C - 1 = I γ ← β ⋅ I α ← γ

Não dá para “juntar” as matrizes, então não pode ser essa. Com isso eliminamos a letra c também.

Passo 3

d

B - 1 = I β ← γ ,     C = I γ ← α

B - 1 C = I β ← γ ⋅ I γ ← α = I β ← α = A - 1

- ''

Resposta

Letra d

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