Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

UFRJ, Cálculo III, P1/2013.2, 2

Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .

Passo 1

Como ele quer a área devemos integrar a função f x , y = 1 . Assim, temos que calcular

D   d x d y

Onde D = ( x , y ) | x 2 3 + y 2 3 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos, então, escrever essa região D em uma integral iterada. Lembre-se que x 2 3 = x 1 3 2 ou seja, como temos quadrados na equação, isso é um indicativo de que vamos utilizar coordenadas polares. Veja que podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

x 1 3 2 + y 1 3 2 = 1

Para termos variáveis elevadas ao quadrado, podemos fazer a substituição:

x 1 3 = u   x = u 3

y 1 3 = v   y = v 3

A região de integração passa a ser, então:

D * = { u 2 + v 2 1 }

Passo 3

Como em toda substituição que fazemos, precisamos calcular o Jacobiano:

J = x u x v y u y v = 3 u 2 0 0 3 v 2

J = 9 u 2 v 2

A integral passa a ser então:

D *   9 u 2 v 2   d u d v

Passo 4

Se você reparar, a região D * , dada pela equação u 2 + v 2 1 é um círculo de raio 1 . Vamos, então, utilizar coordenadas polares agora, para finalmente escrever a região de integração na integral iterada. Faremos:

u = r cos θ

v = r   s e n   θ

J = r

Temos, então 0 r 1 e 0 θ 2 π

Passo 5

Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:

9 0 2 π 0 1 r cos θ 2 r   s e n   θ 2 r   d r d θ =

= 9 0 2 π 0 1 r 5 cos 2 θ s e n 2   θ   d r d θ =

Passo 6

Integrando em relação a r temos:

= 9 0 2 π r 6 6 cos 2 θ s e n 2   θ r = 0 r = 1 d θ =

= 3 2 0 2 π cos 2 θ s e n 2   θ d θ =

Passo 7

Agora, vamos aplicar as fórmulas do arco duplo cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 e s e n 2 θ = 1 - cos 2 θ   2

= 3 8 0 2 π 1 + cos 2 θ 1 - cos 2 θ d θ =

= 3 8 0 2 π 1 - cos 2 2 θ d θ =

Aplicando a fórmula novamente temos cos 2 2 θ = 1 + cos 4 θ 2

= 3 8 0 2 π 1 - 1 + cos 4 θ 2 d θ = 3 8 0 2 π 2 - 1 - cos 4 θ 2

= 3 16 0 2 π 1 - cos 4 θ d θ =

Integrando em relação a θ :

= 3 16 θ - s e n   4 θ 4 0 2 π =

= 3 16 × 2 π =

Resposta

3 π 8

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