Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Enunciado

Calcule ∬ R   e - ( x 2 + 4 y 2 ) d x d y , onde R é a região limitada pela elipse de equação x 2 + 4 y 2 = 4 .

Passo 1

Bom, já deu pra perceber que a saída aqui é fazer uma mudança de variáveis elíptica, né? Tanto pela região de intagração (uma elipse) como pelos termos quadráticos na integral.

Como nós temos isso aqui na integral:

x 2 + 4 y 2

Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos com as elipses, se chamarmos a = 1 e b = 1 / 2 , teremos:

x = a r cos ⁡ θ = r cos ⁡ θ

y = b r   s e n θ = r 2 s e n θ

J = a b   r = r 2

Passo 2

Agora, nós temos que fazer a mudança na elipse. Ah, mas não é só escrever r = 1 para a elipse em coordenadas elípticas? Seria se a gente tivesse feito a mudança na elipse na sua forma geral x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

O que não aconteceu. Então, nós precisamos sim fazer a mudança na elipse!

Temos isso aqui:

r cos ⁡ θ 2 + 4 r 2 s e n θ 2 = 4

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 4

r 2 = 4

r = 2

Como a região é o interior da elipse, temos 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

OBS: se a gente tivesse feito a mudança de variáveis com base na elipse na sua forma geral x 2 4 + y 2 = 1 , a mudança seria diferente, assim como os intervalos de integração e a integral final. Porém, o resultado seria o mesmo!

Passo 3

A integral passa a ser, então:

∬ R *   e - r cos ⁡ θ 2 + 4 r 2 s e n θ 2 r 2 d r d θ   =

= ∬ R *   e - ( r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ ) r 2 d r d θ   =

= 1 2 ∬ R *   e - r 2 r   d r d θ   =

Passo 4

Agora, vamos levar esses intervalos para a integral:

= 1 2 ∬ R *   e - r 2 r   d r d θ   = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 e - r 2 r d r d θ

Passo 5

Integrando en relação a r :

= 1 2 ∫ 0 2 π - 1 2 e - r 2 0 2 d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π - 1 2 e - 4 - 1 d θ =

= 1 4 1 - e - 4 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 6

Agora em relação a θ :

= 1 4 1 - e - 4 θ 0 2 π =

= π 2 1 - e - 4

Resposta

π 2 1 - e - 4

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