Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a área da região do plano limitada pela elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule a área da região do plano limitada pela seguinte elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom... A área A da região limitada pela elipse pode ser calculada usando a integral dupla:

A = ∬ d A D

Onde D é o domínio da região limitada pela elipse.

Assim, para simplificar nossos cálculos, podemos escolher coordenadas elípticas para simplificar a integral:

x = a r cos ⁡ θ

y = b r sin ⁡ θ

Onde r varia de 0 a 1 , e θ varia de 0 a 2 π .

O fator a multiplica r para que o semieixo maior seja a na direção x , e o fator b multiplica r para que o semieixo menor seja b na direção y .

Também devemos ter em mente que a Jacobiana da transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas é:

J = a b r

O que significa que a área d A em coordenadas elípticas é:

d A = a b r   d r   d θ

Agora vamos juntos!!

😉

Passo 2

Então... reescrevendo a integral em coordenadas elípticas e resolvendo, temos:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b r   d r   d θ ∴

Resolvendo primeiro em relação a r :

A = ∫ 0 2 π a b r 2 2 1 0 d θ ∴

Aplicando o intervalo de integração e resolvendo em relação a θ em seguida, temos:

A = ∫ 0 2 π a b 2 d θ ∴

A = a b θ 2 2 π 0 ∴

A = a b π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = a b π

Exercícios de Livros Relacionados

Seja σ θ ,ρ = 2 ρ cos ⁡ θ ,ρ s e nθ . Mostre que σ transforma a reta ρ = 1 numa elipse. Desenhe tal elipse.
Calcule a área da região delimitada pela elipse
Seja σ a transformação do Exercício 10. Desenhe σ ( B ) onde B é o retângulo 0 ≤ ρ ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π .