Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Enunciado

Seja D o domínio do R 3 dado por { ( x , y ) | x 2 + x y + y 2 ≤ 1 } . Calcule

∬ D   e x 2 + x y + y 2 d x d y

Sugestão: Faça x = u cos ⁡ α - v sen ⁡ α , y = u sen ⁡ α + v cos ⁡ α e escolha a constante α de forma que o termo misto u v desapareça do integrando.

Passo 1

Fazendo a substituição que o enunciado sugeriu, o integrando e x 2 + x y + y 2 é escrito como:

u cos ⁡ α - v   sen ⁡ α 2 + u cos ⁡ α - v   sen ⁡ α u   sen ⁡ α + v cos ⁡ α + u   sen ⁡ α + v cos ⁡ α 2

Agora não tem jeito, você tem que fazer esses produtos! Vamos calcular cada produto separadamente:

u cos ⁡ α - v   sen ⁡ α 2 = u 2 cos 2 ⁡ α - 2 u cos ⁡ α ⋅ v sen ⁡ α + v 2 sen 2 ⁡ α

u cos ⁡ α - v   sen ⁡ α u   sen ⁡ α + v cos ⁡ α = u 2 sen ⁡ α cos ⁡ α + u v cos 2 ⁡ α - u v sen 2 ⁡ α - v 2 sen ⁡ α cos ⁡ α

u sen ⁡ α + v cos ⁡ α 2 = u 2 sen 2 ⁡ α + 2 u sen ⁡ α ⋅ v cos ⁡ α + v 2 cos 2 ⁡ α

Somando, temos:

u 2 cos 2 ⁡ α + v 2 sen 2 ⁡ α + u 2 sen ⁡ α cos ⁡ α + u v cos 2 ⁡ α - sen 2 ⁡ α - v 2 sen ⁡ α cos ⁡ α + u 2 sen 2 ⁡ α + v 2 cos 2 ⁡ α =

Agora vamos agrupar os termos com u 2 e v 2 :

= u 2 ( cos 2 ⁡ α + sen 2 ⁡ α ) + v 2 ( sen 2 ⁡ α +   cos 2 ⁡ α ) + u 2 sen ⁡ α cos ⁡ α + u v cos 2 ⁡ α - sen 2 ⁡ α - v 2 sen ⁡ α cos ⁡ α =

= u 2 + v 2 + ( u 2 - v 2 ) sen ⁡ α cos ⁡ α + u v cos 2 ⁡ α - sen 2 ⁡ α =

Veja que, se zerarmos o último termo entre parênteses, conseguimos eliminar o termo u v , como sugerido no enunciado também. Sabendo que cos 2 ⁡ α - sen 2 ⁡ α = cos ⁡ 2 α , teremos:

cos 2 ⁡ α - sen 2 ⁡ α = 0

cos ⁡ 2 α = 0

2 α = π 2 →   α = π / 4

Passo 2

Agora que encontramos o valor de α , sabemos que a substituição que faremos é:

x = u cos ⁡ α - v   sen ⁡ α   → x = 2 2 u - v

y = u   sen ⁡ α + v cos ⁡ α   →   y = 2 2 u + v

Precisamos, então, calcular o Jacobiano dessa mudança.

J = 2 2 - 2 2 2 2 2 2 = 2 4 + 2 4 = 1

Passo 3

Fazendo a substituição no termo x 2 + x y + y 2 , temos:

= 2 4 u - v 2 + 2 4 u - v u + v + 2 4 u + v 2 =

= u 2 + v 2 + 1 2 ( u 2 - v 2 ) =

= 3 u 2 + v 2 2

Então, a integral passa a ser:

∬ D *   e 3 u 2 + v 2 2 1   d u d v

Onde D * = ( u , v ) | 3 u 2 + v 2 2 ≤ 1

Passo 4

Agora precisamos descrever essa região matematicamente, certo? Como se trata de uma elipse, vamos utilizar coordenadas elípticas:

u = 2 3   r cos ⁡ θ

v = 2   r sen ⁡ θ

J = r 2 3 × 2 = 2 3 3 r

Dessa forma, a elipse 3 u 2 + v 2 2 ≤ 1 passa a ser dada por: 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois já definimos u e v para isso.

Passo 5

Lembrando que 3 u 2 + v 2 2 = r 2 , vamos montar a nova integral em r e θ :

∫ 0 1 ∫ 0 2 π e r 2 2 3 3 r d θ d r

Passo 6

Integrando em relação a θ , temos:

= 2 3 3 ∫ 0 1   r   e r 2 d r ⋅ θ   θ = 0 θ = 2 π =

= 4 π 3 3 ∫ 0 1 r e r 2 d r

Passo 7

Agora em relação a r . Se, na integral, chamarmos u = r 2 , teremos d u = 2 r   d r . Os limites de integração ficam inalterados se a gente fizer essa mudança de variáveis. Assim:

4 π 3 3 ∫ 0 1 r e r 2 d r = 2 π 3 3 ∫ 0 1 e u   d u =

= 2 π 3 3 × e u u = 0 u = 1 =

= 2 π 3 3 ( e - e 0 ) =

Resposta

2 π 3 3 ( e - 1 )

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