Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Enunciado

Encontre o valor da área do domínio plano situado no primeiro quadrante e limitado por y = x , 3 x 2 + y 2 = 3 , x 2 + 3 y 2 = 9 .

Passo 1

A área que queremos calcular pode ser escrita como A = ∬ D   d A .

Quando a função que integramos em um domínio D é f x ,   y = 1 , temos apenas o somatório do diferencial d A , o que equivale à área A .

Passo 2

Perceba que a região de integração é limitada por duas elipses, o que nos leva a pensar que utilizar coordenadas elípticas pode ser uma boa ideia. Vamos arrumar as equações de acordo com a forma geral da elipse para analisarmos melhor (o termo depois do “ = ” dever ser 1 ):

3 x 2 + y 2 = 3   → x 2 + y 2 3 = 1

x 2 + 3 y 2 = 9   → x 2 9 + y 2 3 = 1

Repare que as elipses possuem coeficientes a e b diferentes entre si. Nesse caso, qual par a e b utilizaremos nas coordenadas elípticas? Não tem jeito, teremos que fazer substituições diferentes para cada curva. Vamos analisar a figura dessa região para entender melhor:

O que queremos é essa área em azul. Repare que ela é exatamente a diferença entre essas duas áreas em cinza:

E

É assim que vamos calcular, então. Se calcularmos cada uma dessas áreas separadamente (e depois subtrairmos) podemos usar coordenadas elípticas diferentes.

Passo 3

Para a primeira área, limitada pela elipse de equação x 2 9 + y 2 3 = 1 e pela reta y = x , faremos:

x = a r cos ⁡ θ = 3 r cos ⁡ θ

y = b r sen ⁡ θ = 3 r sen ⁡ θ

J = a b   r = 3 3 r

Para a segunda, limitada pela elipse de equação x 2 + y 2 3 = 1 e pela reta, faremos:

x = a r cos ⁡ θ = r cos ⁡ θ

y = b r sen ⁡ θ = 3 r sen ⁡ θ

J = a b   r = 3 r  

Passo 4

Agora que já decidimos as substituições, vamos calcular os intervalos de integração.

Para a primeira área: se substituirmos os valores que atribuímos a x e a y na elipse maior, teremos r ≤ 1 , pela própria definição que demos às coordenadas elípticas. Então, r varia entre 0 (origem do plano) e 1 (equação da elipse). Para descobrir a variação de θ , temos que fazer a mudança de variáveis na equação da reta (pois ela que limita esse ângulo):

y = x   →   3 r sen ⁡ θ = 3 r cos ⁡ θ   → tg ⁡ θ = 3   →   θ = π / 3

Pelo gráfico, vemos que o outro limite do ângulo é θ = π / 2 , o eixo y . Você poderia também substituir x = 0 , encontraria a mesma resposta.

Temos, então: D 1 = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1 ;   π / 3 ≤ θ ≤ π / 2 }

Para a segunda área: temos novamente 0 ≤ r ≤ 1 para essa elipse (isso só ocorre porque estamos usando coordenadas diferentes!). O limite superior de θ é, também, π / 2 . Para descobrir o inferior, vamos substituir os valores de x e y na equação da reta:

y = x   →   3 r sen ⁡ θ = r cos ⁡ θ   → tg ⁡ θ = 3 / 3   →   θ = π / 6

Temos, então: D 2 = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1 ;   π / 6 ≤ θ ≤ π / 2 }

Passo 5

Agora podemos montar a integral:

A = A 1 - A 2

∬ D   d A = ∬ D 1   3 3 r   d r d θ - ∬ D 2   3 r   d r d θ =

= 3 3 ∫ π / 3 π / 2   ∫ 0 1 r   d r d θ - 3 ∫ π / 6 π / 2   ∫ 0 1 r   d r d θ =

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a r :

= 3 3 ∫ π / 3 π / 2 r 2 2 0 1 d θ   - 3 ∫ π / 6 π / 2 r 2 2 0 1   d θ =

= 3 3 2 ∫ π / 3 π / 2 d θ   - 3 2 ∫ π / 6 π / 2   d θ =

Passo 7

Agora vamos integrar em relação a θ :

= 3 3 2 θ π / 3 π / 2 - 3 2 θ π / 6 π / 2 =

= 3 3 2 π 2 - π 3 - 3 2 π 2 - π 6 =

= 3 π 4 - 3 π 6 =

Resposta

3 π 12

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