Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Enunciado

Calcule a integral dupla

I = ∬ D   d x d y 4 x 2 + y 2 3 / 2

Onde D = ( x , y ∈ R ; 1 ≤ x ≤ 2 ,   | y | ≤ x / 2 }

Passo 1

Os termos quadráticos no denominador da integral são um indicativo de que devemos usar coordenadas elípticas (os coeficientes são diferentes). Mas que substituição faremos, se não temos uma elipse? Vamos buscar uma mudança que simplifique o denominador, transformando o termo entre parênteses em r 2 . Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos com as elipses, se chamarmos a = 1 / 2 e b = 1 , teremos:

x = a r cos ⁡ θ = r 2 cos ⁡ θ

y = b r sen ⁡ θ = r sen ⁡ θ

J = a b   r = r 2

A integral passa a ser, então:

I = 1 2 ∬ D *   r   d r d θ 4 r 2 cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 3 / 2 =

= 1 2 ∬ D *   r   d r d θ r 2 3 / 2 =

= 1 2 ∬ D *     d r d θ r 2

Passo 2

Agora vamos calcular os limites de integração, substituindo os valores que definimos para x e y nas expressões do domínio:

y ≤ x 2 → - x 2 ≤ y ≤ x 2

- r 2 cos ⁡ θ 2 ≤ r sen ⁡ θ ≤ r 2 cos ⁡ θ 2

- 1 4 ≤ tg ⁡ θ ≤ 1 4   → arctg ⁡ - 1 4 ≤ θ ≤ arctg ⁡ ( 1 / 4 )

1 ≤ x ≤ 2   → 1 ≤ r 2 cos ⁡ θ ≤ 2   → 2 sec ⁡ θ ≤ r ≤ 4 sec ⁡ θ

Podemos escrever, então:

D * = { ( r , θ ) | arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) ≤ θ ≤ arctg ⁡ ( 1 / 4 ) ;   2 sec ⁡ θ ≤ r ≤ 4 sec ⁡ θ }

Passo 3

Agora vamos montar a integral em termos de r e θ :

1 2 ∫ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) arctg ⁡ ( 1 / 4 )   ∫ 2 sec ⁡ θ 4 sec ⁡ θ d r d θ r 2 =

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= - 1 2 ∫ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) arctg ⁡ ( 1 / 4 )   1 r 2 sec ⁡ θ 4 sec ⁡ θ d θ =

= - 1 2 ∫ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) arctg ⁡ ( 1 / 4 ) cos ⁡ θ 4 - cos ⁡ θ 2   d θ =

= 1 8 ∫ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) arctg ⁡ ( 1 / 4 ) cos ⁡ θ   d θ =

Passo 5

Integrando, agora, em relação a θ , temos:

= 1 8 sen ⁡ θ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) arctg ⁡ ( 1 / 4 ) =

= 1 8 sen ⁡ arctg ⁡ ( 1 / 4 ) - sen ⁡ arctg ⁡ ( - 1 / 4 ) =

= 1 8 sen ⁡ arctg ⁡ ( 1 / 4 ) + sen ⁡ arctg ⁡ ( 1 / 4 ) =

= 1 4 sen ⁡ arctg ⁡ ( 1 / 4 ) =

Mas qual o seno do arco que tem tangente 1 / 4 ? Você pode usar as equações trigonométricas para calcular, mas isso pode ser um pouco trabalhoso. Aqui vai uma dica que é bem mais prática:

  1. Desenhe um triângulo retângulo e chame um dos seus ângulos agudos de θ ;
  2. Escreva nele a informação que você tem, no caso, t g   θ = 1 / 4 . Mas como? A forma mais simples é colocar 1 no cateto oposto a θ e 4 no cateto adjacente;
  3. Fala um lado, certo? Calcule o valor dele usando Pitágoras ( a 2 = b 2 + c 2 );
  4. Pronto, agora você consegue calcular o que quiser fazendo a razão entre os lados do triângulo. Nesse caso, sen ⁡ θ = cateto oposto hipotenusa

Então, temos que s e n   θ = 1 / 17 . Substituindo:

= 1 4 × 1 17 = 17 68

Resposta

17 68

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