Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Enunciado

Calcule a integral usando a transformação x = 2 u y = 3 v

∬ R x 2 d A

Onde R é a região limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Passo 1

A questão pede uma mudança de variável qualquer, certo? Vamos começar fazendo ela então! A primeira coisa a se descobrir é o jacobiano dessa mudança, olha só

∂ x ∂ u = 2

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 3

J = 2 0 0 3 = 6

Depois de calcularmos o jacobiano, vamos ver como fica a região de integração, nesse caso aqui é só substituir tudo em 9 x 2 + 4 y 2 ≤ 36 . O símbolo de “menor ou igual” entra porque se trata do interior da elipse, beleza?

9 x 2 + 4 y 2 ≤ 36

9.4 u 2 + 4.9 v 2 ≤ 36

36 u 2 + 36 v 2 ≤ 36

u 2 + v 2 ≤ 1

Ou seja, o interior de uma circunferência de raio 1 em u v . Só pra não confundir, vamos chamar essa região em u v de D e não r , beleza? Com isso a integral fica

∬ D 2 u 2 6 d u d v = 24 ∬ D u 2 d u d v

Passo 2

Estamos quase terminando de arrumar a integral pra começar os cálculos, vamos ver essa nossa região D em u v , ela é a circunferência de raio 1 , por isso vamos fazer uma mudança polar, olha como fica

u = r cos ⁡ θ

v = r sen ⁡ θ

J = r

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Substituindo tudo na integral

24 ∬ D u 2 d u d v

24 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r cos ⁡ θ 2 r d r d θ

= 24 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ

Passo 3

Agora sim! Vamos começar integrando isso aí em r

24 ∫ 0 2 π r 4 4 r = 0 r = 1 cos 2 ⁡ θ d θ

= 6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Pra resolver isso aí vamos utilizar um artifício matemático, sabemos que

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Jogando isso na integral

6 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 3 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 3 θ + sen ⁡ 2 θ 2 θ = 0 θ = 2 π

= 3 2 π + 0 - 0 + 0 = 6 π

Resposta

6 π

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