Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

UERJ - Cálculo 2 - Lista do Hamilton - Integral Dupla - 6

Mostre, usando integral dupla, que a área limitada pela elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 é igual a a b π .

Passo 1

Bom, vamos começar montando o problema. A questão pede para calcularmos a àrea da elipse genérica x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Sendo D a região que a elipse limita, podemos escrever:

área D = D   d x d y

Certo? Nada demais até aqui.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente a região D para podermos calcular a integral dupla. Para isso, vamos usar as coordenadas polares, na verdade, um tipo especial de coordenadas polares: as coordenadas elípticas.

O que nós estamos acostumados a ver na mudança para coordenadas polares é o seguinte:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Como nós já vimos, as coordenadas elípticas são muito parecidas com isso, a única diferença é que esses termos vem acompanhados de um coeficiente.

Nós temos a seguinte equação da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A ideia é “transformá-la” em uma circunferência. Como assim?! Lembra que, nas coordenadas polares, uma circunferência é descrita apenas por r = k , o valor do seu raio? Queremos o mesmo aqui para a elipse. Para isso, precisamos definir:

x = a   r cos θ

y = b   r sen θ

Pois isso nos dá:

a   r cos θ 2 a 2 + ( b   r sen θ ) 2 b 2 = 1

r 2 cos 2 θ + sen 2 θ = 1

r = 1

Certo, então é essa a mudança de coordenadas que vamos usar. Bom, como já aprendemos, quando multiplicamos as coordenadas x e y da nossa transformação por um coeficiente, ele acaba se refletindo no Jacobiano, multiplicando ele. Então, em vez de J = r , temos aqui:

J = a b r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os intervalos de integração.

Como temos a elipse completa, uma volta completa no plano x y

0 θ 2 π

Como o raio varia desde a origem até a equação da elipse, temos

0 r 1

Logo, a região D pode ser escrita como:

D = { ( r , θ ) | 0 r 1 ;   0 θ 2 π }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas elípticas:

0 2 π 0 1 a b   r   d r d θ =

Não se esqueça do Jacobiano!

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= a b 0 2 π r 2 2 0 1 d θ =

= a b 2 0 2 π d θ =

Passo 6

Agora em relação a θ :

= a b 2 θ 0 2 π =

= a b π

Demonstramos, então, o que o problema pediu.

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