Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

USP, Cálculo 3, P1 - 2019, Questão 12

Seja f uma unção contínua arbitrária em R 2 e M = - 1 1 0 2 1 - x 2 f x , y d y   d x . É correto concluir que M = 0 π 0 b f r   c o s θ ,   2 r   s e n θ   K r ,   θ d r   d θ no caso em que b = ? e   K r ,   θ = ?

Passo 1

Logo de cara, olhando pra integral do enunciado, vimos que ele afirma

x = r cos θ

y = 2 r   s e n θ

Então percebemos que estamos trabalhando com coordenadas elípticas, tudo bem?

Para esse caso então já podemos procurar o Jacobiano, que seria esse K ( r ,   θ ) .

Nas coordenadas elíptica temos

x = a   r   c o s θ

y = b   r   s e n θ  

Lembra como ficava o Jacobiano?

J = a   b   r

No caso da questão temos a = 1   e   b = 2 , logo o jacobiano fica

K r ,   θ = J = 2   r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora vamos aplicar essas coordenadas na nossa integral pra podermos encontrar o b pedido na questão.

Começamos observando que

0 y 2 1 - x 2

Trabralhando com isso ficamos com

y = 2 1 - x 2

y 2 = 4 . ( 1 - x 2 )

y 2 4 + x 2 = 1

2   r   s e n θ 2 4 + r 2 c o s θ = 1

r 2 = 1

r = 1

Observa também que a partir dessa afirmação y = 2 1 - x 2 estamos trabalhando só a parte do y positivo!

Logo, nosso θ ao invés de dar a volta completa e ir de 0   a   2 π , ele vai apenas de   0   a   π .

Passo 3

Montando a integral ficamos então com

M = 0 π 0 b f r   c o s θ ,   2 r   s e n θ   K r ,   θ d r   d θ

M = 0 π 0 1 f r   c o s θ ,   2 r   s e n θ   2 r   d r   d θ

Resposta

b = 1   e   K r ,   θ = 2 r

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