Exercícios Resolvidos de O método das potências

Ver Teoria

Enunciado

Ache o autovetor e o autovalor da matriz abaixo, pelo método das potências, considerando o vetor inicial e erro ε < 0,1 :

x ( 0 ) = 1 1 t

A = 4 3 1 2

Passo 1

Primeira iteração:

A x = y

Se:

A = 4 3 1 2

x ( 0 ) = 1 1 t

Então:

4 3 1 2 . 1 1 = 4 + 3 1 + 2 = 7 3

No próximo passo, devemos transformar a matriz calculada em uma matriz normalizada .

7 3

Onde µ será o termo maior 7, que servirá para normalizar:

x ( 1 ) = y ( 1 ) 7

x ( 1.1 ) = 7 7 = 1

x ( 1.2 ) = 3 7 = 0 , 4286

O vetor x ( 1 ) , passa a ser

x ( 1 ) = 1 0,4286 t

E agora, calculamos o erro:

ε = 7 - 1 7 = 0 , 8 5 71 > 0,1

Passo 2

Segunda iteração:

A x = y

Se:

A = 4 3 1 2

x ( 1 ) = 1 0,4286 t

Então:

4 3 1 2 . 1 0 , 4286 = 4 + 1,2858 1 + 0,8572 = 5,2858 1,8572

No próximo passo, devemos transformar a matriz calculada em uma matriz normalizada .

5,2858 1,8572

Onde µ será o termo maior 5,2858 , que servirá para normalizar:

x ( 2 ) = y ( 2 ) 5,2858

x ( 2.1 ) = 5,2858 5,2858 = 1

x ( 2.2 ) = 1,8572 5,2858 = 0 , 3514

O vetor x ( 2 ) , passa a ser

x ( 2 ) = 1 0 , 3514 t

E agora, calculamos o erro:

ε = 5,2858 - 7 5,2858 = 0 , 3243 > 0,1

Passo 3

Segunda iteração:

A x = y

Se:

A = 4 3 1 2

x ( 2 ) = 1 0,3514 t

Então:

4 3 1 2 . 1 0,3514 = 4 + 1 , 0542 1 + 0 , 7028 = 5 , 0542 1 , 7028

No próximo passo, devemos transformar a matriz calculada em uma matriz normalizada .

5,0542 1,7028

Onde µ será o termo maior 5 , 0542 , que servirá para normalizar:

x ( 3 ) = y ( 2 ) 5,0542    

x ( 3 . 1 ) = 5,0542 5,0542 = 1

x ( 3 . 2 ) = 1 , 7028 5,0542 = 0,3 369

O vetor x ( 3 ) , passa a ser

x ( 3 ) = 1 0,3 369 t

E agora, calculamos o erro:

ε = 5,0542 - 5,2858 5,0542 = 0 , 0458 < 0,1

Resposta

Após 3 iterações:

A u t o v a l o r = λ = 5,0542

A u t o v e t o r = x ( 3 ) = 1 0,3369 t