Exercícios Resolvidos de O método das potências

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Enunciado

Resolva a primeira iteração da matriz abaixo, pelo método das potências, considerando o vetor inicial e erro ε < 0,1 :

x ( 0 ) = 0,9 0,8 t

A = 2 1 1 2

Passo 1

Primeira iteração:

A x = y

Se:

A = 2 1 1 2

x ( 0 ) = 0,9 0,8 t

Devemos normalizar o vetor:

x ( 1 ) = y ( 1 ) 0,9

x ( 1.1 ) = 0,9 0,9 = 1

x ( 1.2 ) = 0,8 0 , 9 = 0,8 889

Então:

2 1 1 2 . 1 0,8 889 = 2 + 0,8889 1 + 1,7778 = 2,8889 2,7779

No próximo passo, devemos transformar a matriz calculada em uma matriz normalizada .

2,8889 2,7779

Onde µ será o termo maior 2,8889, que servirá para normalizar:

x ( 1 ) = y ( 1 ) 2,8889

x ( 1.1 ) = 2,8889 2,8889 = 1

x ( 1.2 ) = 2,7779 2,8889 = 0 , 9615

O vetor x ( 1 ) , passa a ser

x ( 1 ) = 1 0 , 9615 t

E agora, calculamos o erro:

ε = 2,8889 - 1 2,8889 = 0,6538 > 0,1

Passo 2

Segunda iteração:

A x = y

Se:

A = 2 1 1 2

x ( 1 ) = 1 0,9615 t

Então:

2 1 1 2 . 1 0 , 9615 = 2 + 0 , 9615 1 + 1,923 = 2,9615 2,9231

No próximo passo, devemos transformar a matriz calculada em uma matriz normalizada .

2,9615 2,9231

Onde µ será o termo maior 2,9615 , que servirá para normalizar:

x ( 2 ) = y ( 2 ) 2,9615

x ( 2 . 1 ) = 2,9615 2,9615 = 1

x ( 2 . 2 ) = 2,9231 2,9615 = 0,9 870

O vetor x ( 1 ) , passa a ser

x ( 2 ) = 1 0,9 870 t

E agora, calculamos o erro:

ε = 2,9615 - 2,8889 2,9 615 = 0 , 0245 < 0,1

Resposta

Após 2 iterações:

A u t o v a l o r = λ = 2,9615

A u t o v e t o r = x ( 2 ) = 1 0,9870 t